Ile różnych prostokątów możemy zaznaczyć w kracie \(\displaystyle{ k \times k}\) ? A ile z nich ma bok zawarty w górnym lub prawym brzegu karty? (jego boki leżą na liniach kraty i kwadrat też jest prostokątem)
Potrzebuję pomocy z tym zadaniem, jak można to rozwiązać ?
prostokąty w kracie
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
prostokąty w kracie
Umieszczam kratę w układzie współrzędnych tak że jej rogi to \(\displaystyle{ (0,0), (0,k), (k,k),(k,0)}\). Skoro boki prostokąta leżą na liniach kraty to jednoznacznie wyznaczają go współrzędne końców jego przekątnej, gdzie rzędne (i odcięte) przyjmują różne wartości.
Ilość prostokątów to:
\(\displaystyle{ J= {k+1 \choose 2} \cdot {k+1 \choose 2}=\left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2}\)
\(\displaystyle{ J'=\left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2-\left( \frac{k(k-1)}{2} \right)^2=k^3}\) .
Ilość prostokątów to:
\(\displaystyle{ J= {k+1 \choose 2} \cdot {k+1 \choose 2}=\left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2}\)
Od powyższej ilości wystarczy odjąć prostokąty z kraty (k-1)x(k-1)A ile z nich ma bok zawarty w górnym lub prawym brzegu karty
\(\displaystyle{ J'=\left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2-\left( \frac{k(k-1)}{2} \right)^2=k^3}\) .
