Funkcja tworząca
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 31 paź 2015, o 19:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 2 razy
Funkcja tworząca
Podaj 5- ty wyraz ciągu, którego postać tworząca ma postać \(\displaystyle{ F(x) = \frac{1}{(1-2x)(1-x)}}\). Dla jakiego ciągu jest to ciąg sum częściowych?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Funkcja tworząca
Postępujesz podobnie jak tutaj: 408840.htm
Rozkładasz na ułamki proste, rozwijasz w szeregi geometryczne i odczytujesz potrzebne informacje.
Rozkładasz na ułamki proste, rozwijasz w szeregi geometryczne i odczytujesz potrzebne informacje.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 31 paź 2015, o 19:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 2 razy
Funkcja tworząca
Ale bedzie to:
\(\displaystyle{ s_n=2 \cdot 2^n-(-1)^n}\), czy raczej
\(\displaystyle{ s_n=2^{n+1}-1}\) ?
\(\displaystyle{ s_n=2 \cdot 2^n-(-1)^n}\), czy raczej
\(\displaystyle{ s_n=2^{n+1}-1}\) ?
Ostatnio zmieniony 14 cze 2016, o 22:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Funkcja tworząca
Nie wiem, skąd miałbym to wiedzieć bez rozwiązania, więc napiszę skrótowe rozwiązanie, tak będzie szybciej:
\(\displaystyle{ F(x)= \frac{1}{(1-2x)(1-x)}=- \frac{1}{1-x}+ \frac{2}{1-2x}= \sum_{n=0}^{+\infty}-x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }2^{n+1}x^{n}= \\=\sum_{n=0}^{ \infty }(2^{n+1}-1)x^{n}}\)
Czyli \(\displaystyle{ s_{n}=2^{n+1}-1}\), stąd łatwo wyliczyć \(\displaystyle{ s_{5}}\).
Ponadto \(\displaystyle{ 2^{n+1}-1=1+...+2^{n}}\)
\(\displaystyle{ F(x)= \frac{1}{(1-2x)(1-x)}=- \frac{1}{1-x}+ \frac{2}{1-2x}= \sum_{n=0}^{+\infty}-x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }2^{n+1}x^{n}= \\=\sum_{n=0}^{ \infty }(2^{n+1}-1)x^{n}}\)
Czyli \(\displaystyle{ s_{n}=2^{n+1}-1}\), stąd łatwo wyliczyć \(\displaystyle{ s_{5}}\).
Ponadto \(\displaystyle{ 2^{n+1}-1=1+...+2^{n}}\)