Funkcja tworząca

predator45 · Post autor: **predator45** » 14 cze 2016, o 11:33

Podaj 5- ty wyraz ciągu, którego postać tworząca ma postać \(\displaystyle{ F(x) = \frac{1}{(1-2x)(1-x)}}\). Dla jakiego ciągu jest to ciąg sum częściowych?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 cze 2016, o 12:00

Postępujesz podobnie jak tutaj: 408840.htm

Rozkładasz na ułamki proste, rozwijasz w szeregi geometryczne i odczytujesz potrzebne informacje.

predator45 · Post autor: **predator45** » 14 cze 2016, o 19:07

Ale bedzie to:
\(\displaystyle{ s_n=2 \cdot 2^n-(-1)^n}\), czy raczej
\(\displaystyle{ s_n=2^{n+1}-1}\) ?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 14 cze 2016, o 19:24

Nie wiem, skąd miałbym to wiedzieć bez rozwiązania, więc napiszę skrótowe rozwiązanie, tak będzie szybciej:

\(\displaystyle{ F(x)= \frac{1}{(1-2x)(1-x)}=- \frac{1}{1-x}+ \frac{2}{1-2x}= \sum_{n=0}^{+\infty}-x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }2^{n+1}x^{n}= \\=\sum_{n=0}^{ \infty }(2^{n+1}-1)x^{n}}\)

Czyli \(\displaystyle{ s_{n}=2^{n+1}-1}\), stąd łatwo wyliczyć \(\displaystyle{ s_{5}}\).
Ponadto \(\displaystyle{ 2^{n+1}-1=1+...+2^{n}}\)