Funkcja tworząca
-
predator45
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 31 paź 2015, o 19:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 2 razy
Funkcja tworząca
Podaj 5 -ty wyraz ciągu, którego funkcja tworząca ma postać \(\displaystyle{ F(x)= \frac{1}{(1+x)(1-x)}}\). Dla jakiego ciągu jest to ciąg sum częściowych?
-
Slup
- Użytkownik
- Posty: 794
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Funkcja tworząca
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{(1+x)(1-x)}=\frac{1}{2}\frac{(1+x)+(1-x)}{(1+x)(1-x)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x})=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n+\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^n)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2}(1+(-1)^n)x^n}\)
Zatem \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2}(1+(-1)^n)}\) dla \(\displaystyle{ n=0,1,...}\). Dalej już sam sobie poradzisz. Mogę dać Ci co najwyżej wskazówki.
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}(\sum_{n=0}^{+\infty}x^n+\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^n)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2}(1+(-1)^n)x^n}\)
Zatem \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2}(1+(-1)^n)}\) dla \(\displaystyle{ n=0,1,...}\). Dalej już sam sobie poradzisz. Mogę dać Ci co najwyżej wskazówki.