Postać jawna sumy

meiniak · Post autor: **meiniak** » 12 cze 2016, o 22:36

Witam,
Czy ktoś mógłby rozwiązać takie dwa przykłady? Lub jakiś wzór, wyjaśnić jak się za to zabrać ?
Postać jawna sumy

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(k-2 \cdot (-1)^{k})^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n+1}(-2)^{k-1} \cdot k+k^{2}}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 12 cze 2016, o 23:05

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(k-2 \cdot (-1)^{k})^{2}= \sum_{k=1}^{n}k^{2}- 4\sum_{k=1}^{n}k(-1)^{k}+4 \sum_{k=1}^{n}1}\)
- zastosowałem po prostu wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
To ostatnie to po prostu \(\displaystyle{ 4n}\). Natomiast w dalszej części zadania przydadzą się następujące fakty:
1) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\) - można to elegancko wykazać z użyciem metody zaburzania sum, zobacz tu: 258562.htm

2) Niech \(\displaystyle{ x \neq 1}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}kx^{k}= \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{k}x^{k}= \sum_{l=1}^{n} \sum_{k=l}^{n} x^{k}= \sum_{l=1}^{n}x^{l} \frac{1-x^{n-l+1}}{1-x}= \frac{1}{1-x} \sum_{l=1}^{n}x^{l}-x^{n+1}=\\=x \frac{1-x^{n}}{(1-x)^{2}}- \frac{nx^{n+1}}{1-x}}\)
Zastosowałem zmianę kolejności sumowania i wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Oczywiście jeśli masz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}}\), to da się podobnie, ponadto gdy masz już powyższe, to wystarczy podzielić.
Dolicz to, stosując te tożsamości.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 13 cze 2016, o 10:16

W obydwu przykładach można z rachunku różnicowego skorzystać
(dolna silnia oraz sumowanie przez części)

meiniak · Post autor: **meiniak** » 15 cze 2016, o 21:31

mariuszm, a dałoby radę, byś rozwiązał ten 1 przykład? za pomocą tego rachunku ?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 15 cze 2016, o 23:37

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(k-2 \cdot (-1)^{k})^{2}\\
=\sum_{k=1}^{n}{k^2-4k\left( -1\right)^{k}+4\left( -1\right)^{2k} }\\
=\sum_{k=1}^{n}{k^2+4}- \sum_{k=1}^{n}{4k\left( -1\right)^{k}} \\}\)

Pierwszą sumę policzymy korzystając z dolnej silni
Drugą sumę policzymy korzystając z sumowania przez części

\(\displaystyle{ f\left( 0\right)=4\\
\Delta f\left( n\right)=\left( n+1\right)^2+4-\left( n^2+4\right) \\
\Delta f\left( n\right)=n^2+2n+1+4-n^2-4\\
\Delta f\left( n\right)=2n+1\\
\Delta f\left( 0\right)=1\\
\Delta^2f\left( n\right)=2\left( n+1\right)+1-\left(2n+1 \right) \\
\Delta^2f\left( n\right)=2n+3-2n-1\\
\Delta^2f\left( n\right)=2\\
\Delta^2f\left( 0\right)=2\\
\left( x^2+4\right)=4x^{\underline{0}}+x^{\underline{1}}+x^{\underline{2}}\\
\sum{\left( x^2+4\right) \delta x }=4x^{\underline{1}}+\frac{1}{2}x^{\underline{2}}+\frac{1}{3}x^{\underline{3}}\\
\sum{\left( x^2+4\right) \delta x }=4x+\frac{1}{2}x\left( x-1\right)+\frac{1}{3}x\left( x-1\right)\left( x-2\right)\\
4x+\frac{1}{6}x\left( x-1\right)\left(2x-1\right)\\
\sum_{1}^{n+1}{\left( x^2+4\right) \delta x }=4\left( n+1\right)-4+\frac{1}{6}n\left( n+1\right)\left( 2n+1\right)-0\\
\sum_{1}^{n+1}{\left( x^2+4\right) \delta x }=4n+\frac{1}{6}n\left( n+1\right)\left(2n+1\right)}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}{4k\left( -1\right)^{k}}\\
\sum{4x\left( -1\right)^{x}\delta x} =-2x\left( -1\right)^{x}+2\sum{\left( -1\right)^{x+1} \delta x} \\
\sum{4x\left( -1\right)^{x}\delta x} =-2x\left( -1\right)^{x}-2\sum{\left( -1\right)^{x} \delta x}\\
\sum{4x\left( -1\right)^{x}\delta x} =-2x\left( -1\right)^{x}+\left( -1\right)^{x} \\
\sum_{1}^{n+1}{4x\left( -1\right)^{x}\delta x}=-2\left( n+1\right)\left( -1\right)^{n+1}+\left( -1\right)^{n+1} -1\\
\sum_{1}^{n+1}{4x\left( -1\right)^{x}\delta x}=\left( 2n+1\right)\left( -1\right)^{n}-1\\}\)

\(\displaystyle{ 4n+1+\frac{1}{6}n\left( n+1\right)\left(2n+1\right)-\left(2n+1\right)\left( -1\right)^{n}}\)

Jeśli się nie pomyliłem w rachunkach to ta suma powinna tyle wynosić
Nawet jeśli gdzieś jest błąd obliczeniowy to idea jest dobra