Znajdź wzór zwarty

[zagubiony_uzytkownik]

Niech \(\displaystyle{ a_{n}(k)}\) oznacza liczbę n permutacji z powtórzeniami ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,...,k\right\}}\) w których \(\displaystyle{ k}\) wystepuje nieparzysta ilosc razy. Znajdz wzor zwarty na \(\displaystyle{ a_{n}(k)}\) \(\displaystyle{ k>1}\)

Myslalem nad czyms takim
\(\displaystyle{ a_{n}(k) = a_{n-1}(k) \cdot (k-1)n + a_{n-2}(k) \cdot (n-1)n}\)
Czyli bierzemy poprzednia permutacje, wybieramy na \(\displaystyle{ k-1}\) sposob liczbe mniejsza od \(\displaystyle{ k}\) i nastepnie "wciskamy" ja do permutacji z \(\displaystyle{ n-1}\) elementami. Mozemy tez wziac permutacje \(\displaystyle{ n-2}\) elementowa, wziac dwa razy element \(\displaystyle{ k}\) i wcisnac go dwa razy do \(\displaystyle{ n-2}\) elementowej permutacji.

[Mruczek]

Moim zdaniem liczba wszystkich możliwych permutacji z powtórzeniami \(\displaystyle{ n}\)-elementowych ze zbioru \(\displaystyle{ k}\)-elementowego (przy nieustalonych krotnościach powtórzeń) jest równa liczbie wszystkich wariacji z powtórzeniami \(\displaystyle{ n}\)-elementowych ze zbioru \(\displaystyle{ k}\)-elementowego, czyli \(\displaystyle{ k ^{n}}\).
Tak więc przy ustaleniu, że \(\displaystyle{ k}\) ma występować nieparzystą liczbę razy musimy najpierw zarezerwować nieparzystą liczbę miejsc dla liczby \(\displaystyle{ k}\) i potem zrobić wariacje z powtórzeniami dla pozostałych liczb. Np. przy \(\displaystyle{ n}\) nieparzystym:
\(\displaystyle{ \sum_{i = 2l + 1, l = 0, i \le n} (k - 1)^{n - i} \cdot {n \choose i} = \frac{1}{2} ((1 +(k - 1))^ {n} + (1-(k - 1))^n)}\).