Mamy 10 par butów. Na ile sposobów możemy wybrać cztery buty tak, aby otrzymać co najmniej jedną parę? Odpowiedź uzasadnij.
Bardzo proszę o pomoc.
Na ile sposobów
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Na ile sposobów
Rozpatrzmy zagadnienie przeciwne " na ile sposobów możemy wybrać cztery buty, tak aby wśród wybranych nie było ani jednej pary".
Ponumerujmy zbiór \(\displaystyle{ L}\) butów lewych par przez \(\displaystyle{ L_{1}, L_{2},..., L_{10}.}\)
Zbiór butów prawych \(\displaystyle{ P}\) par przez \(\displaystyle{ P_{1},P_{2}, ...,P_{10}.}\)
Układy sprzyjające otrzymamy, gdy weźmiemy:
- \(\displaystyle{ 0}\) butów z \(\displaystyle{ L}\) i cztery buty z \(\displaystyle{ P,}\)
takich układów jest \(\displaystyle{ {10\choose 0}\cdot {10\choose 4}.}\)
-\(\displaystyle{ 1}\) but z \(\displaystyle{ L}\) i trzy buty z \(\displaystyle{ P,}\)
takich układów jest
\(\displaystyle{ {10\choose 1}\cdot {9\choose 3},}\)
.......................................................................
-\(\displaystyle{ 4}\) buty z \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ 0}\) z \(\displaystyle{ P,}\)
takich układów jest
\(\displaystyle{ {10\choose 4}\cdot {6\choose 0}.}\)
Wszystkich układów sprzyjających temu zdarzeniu jest
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{4}{10 \choose i}\cdot {10-i \choose 4 -i}= {10\choose 4}\sum_{i=0}^{4}{4\choose i}.}\)
Korzystając z równości
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{4}{4 \choose i}= 2^{4},}\) otrzymujemy liczbę wszystkich sprzyjających układów
\(\displaystyle{ {10\choose 4}\cdot 2^{4}.}\)
Wszystkich możliwych układów wyboru \(\displaystyle{ 4}\) z \(\displaystyle{ 20}\) jest tyle ile jest kombinacji bez powtórzeń z \(\displaystyle{ 20}\) elementów po \(\displaystyle{ 4}\), tj.\(\displaystyle{ {20\choose 4}.}\)
Stąd szukana liczba sposobów wyboru czterech butów tak, aby otrzymać co najmniej jedną parę wynosi:
\(\displaystyle{ {20\choose 4} - {10\choose 4}\cdot 2^{4} =1485.}\)
Program R
Ponumerujmy zbiór \(\displaystyle{ L}\) butów lewych par przez \(\displaystyle{ L_{1}, L_{2},..., L_{10}.}\)
Zbiór butów prawych \(\displaystyle{ P}\) par przez \(\displaystyle{ P_{1},P_{2}, ...,P_{10}.}\)
Układy sprzyjające otrzymamy, gdy weźmiemy:
- \(\displaystyle{ 0}\) butów z \(\displaystyle{ L}\) i cztery buty z \(\displaystyle{ P,}\)
takich układów jest \(\displaystyle{ {10\choose 0}\cdot {10\choose 4}.}\)
-\(\displaystyle{ 1}\) but z \(\displaystyle{ L}\) i trzy buty z \(\displaystyle{ P,}\)
takich układów jest
\(\displaystyle{ {10\choose 1}\cdot {9\choose 3},}\)
.......................................................................
-\(\displaystyle{ 4}\) buty z \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ 0}\) z \(\displaystyle{ P,}\)
takich układów jest
\(\displaystyle{ {10\choose 4}\cdot {6\choose 0}.}\)
Wszystkich układów sprzyjających temu zdarzeniu jest
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{4}{10 \choose i}\cdot {10-i \choose 4 -i}= {10\choose 4}\sum_{i=0}^{4}{4\choose i}.}\)
Korzystając z równości
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{4}{4 \choose i}= 2^{4},}\) otrzymujemy liczbę wszystkich sprzyjających układów
\(\displaystyle{ {10\choose 4}\cdot 2^{4}.}\)
Wszystkich możliwych układów wyboru \(\displaystyle{ 4}\) z \(\displaystyle{ 20}\) jest tyle ile jest kombinacji bez powtórzeń z \(\displaystyle{ 20}\) elementów po \(\displaystyle{ 4}\), tj.\(\displaystyle{ {20\choose 4}.}\)
Stąd szukana liczba sposobów wyboru czterech butów tak, aby otrzymać co najmniej jedną parę wynosi:
\(\displaystyle{ {20\choose 4} - {10\choose 4}\cdot 2^{4} =1485.}\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> choose(20,4)- choose(10,4)*2^4
[1] 1485