Funkcja tworząca ciągu

[pg2464]

Witam, proszę o pomoc przy poniższym zadaniu

Policz funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{n!}}\)

[Premislav]

Wystarczy wiedzieć, że
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} x^{n}=e^{x}}\)
(czasami nawet tak się definiuje \(\displaystyle{ e^{x}}\)).

[pg2464]

a czegoś takiego
\(\displaystyle{ d_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n} .}\)

[Premislav]

Niezły skok poziomu trudności.
Proponuję coś takiego:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}d_{n}x^{n}= \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=1}^{n}\left(x^{n} \int_{0}^{1}t^{k-1}\mbox{d}t \right)= \sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{n=k}^{+\infty}\left(x^{n} \int_{0}^{1}t^{k-1}\mbox{d}t \right)=\\= \sum_{k=1}^{+\infty} \left(\int_{0}^{1}t^{k-1}\mbox{d}t\right) \sum_{n=k}^{+\infty}x^{n}= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} \frac{x^{k}}{1-x}}\)
Dalej mamy \(\displaystyle{ A(x)= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} \frac{x^{k}}{1-x}= \frac{1}{1-x} \sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1k x^{k}}\).

Z całkowania wyraz po wyrazie (które możemy wykonywać wewnątrz przedziału zbieżności) wynika zaś, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1 k x^{k}= \sum_{k=1}^{+\infty} \int_{0}^{x}t^{k-1}\mbox{d}t= \int_{0}^{x}\left( \sum_{k=1}^{+\infty}t^{k-1} \right)\mbox{d}t=-\ln(1-x)}\)
Stąd odpowiedź to \(\displaystyle{ - \frac{\ln(1-x)}{1-x}}\)
Uff... Pewnie da się prościej, ale ja jestem słaby z matematyki, więc nie potrafię prościej.-- 8 cze 2016, o 22:42 --Aha, oczywiście ta zmiana kolejności sumowania, podobnież jak całkowanie i różniczkowanie wyraz po wyrazie, może się odbywać tylko w pewnych określonych warunkach. Ale wewnątrz przedziału zbieżności to działa.

[pg2464]

Uff... Pewnie da się prościej, ale ja jestem słaby z matematyki, więc nie potrafię prościej.

Nie dołuj mnie

nie bardzo zrozumiałem pierwszą część Twojego rozwiązania ale przynajmniej mniej więcej wiem skąd pojawił częściowy zapis ze wskazówki jaką miałem
\(\displaystyle{ D\!\left( x \right) =\frac{C\!\left( x \right)}{1-x} =-\frac{\ln{\left( 1-x \right)}}{1-x} =\frac{\ln{\left( 1-x \right)}}{x-1}.}\)

gdzie C(x) wcześniej wyliczałem i była to funkcji tworząca \(\displaystyle{ c_n=\frac{1}{n}}\)

Dzięki, trochę zaczynam łapać funkcję tworzące

[Premislav]

Właściwie to można wyjaśnić, że te całki na początku są tylko dla ozdoby (bo one mnie podniecają), dopiero tam, gdzie korzystam z całkowania wyraz po wyrazie, mają one jakieś praktyczne znaczenie.

Można by ten początek inaczej zapisać tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}d_{n}x^{n}= \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{x^{n}}{k} \right)= \sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{n=k}^{+\infty}\left(\frac{x^{n}}{k}\right)=\\= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} \sum_{n=k}^{+\infty}x^{n}= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} \frac{x^{k}}{1-x}}\)

Prościej?

O co chodzi: w pierwszym przejściu pod zewnętrzną sumą zapisuję
\(\displaystyle{ \left( 1+...+\frac 1 n\right) x^{n}}\) po prostu jako
\(\displaystyle{ x^{n}+...+ \frac{x^{n}}{n}}\) - zwykła rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Następnie kluczowa rzecz: zmieniam kolejność sumowania (jeśli miałeś rachunek całkowy, to to jest taki dyskretny odpowiednik zmiany kolejności całkowania właśnie). Zamiast najpierw (wewnętrzna suma) sumować po \(\displaystyle{ k}\), a potem (zewnętrzna) po \(\displaystyle{ n}\), najpierw sumuję po \(\displaystyle{ n}\), a potem po \(\displaystyle{ k}\). Skoro \(\displaystyle{ 1\le n <\infty}\), zaś przy ustalonym \(\displaystyle{ n}\) indeks \(\displaystyle{ k}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\), to patrząc na to z drugiej strony, mamy, że \(\displaystyle{ 1\le k \le \infty}\), a przy ustalonym \(\displaystyle{ k}\) indeks \(\displaystyle{ n}\) rośnie od \(\displaystyle{ n=k}\).
Nie zawsze można wykonać taką zmianę kolejności sumowania, w tym momencie nie mam pod ręką kontrprzykładu, ale dość, że z tym trzeba trochę uważać.

Dalej z tym \(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{+\infty} x^{n}}\) to po prostu wzór na sumę szeregu geometrycznego.

[Mariusz M]

Ciąg sum częściowych ciągu \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{n+1}}\) (zakładając że sumujemy od zera)


\(\displaystyle{ s_{n}=s_{n-1}+a_{n}\\
S\left( x\right)= \sum_{n=1}^{ \infty }{s_{n}x^n}
\sum_{n=1}^{ \infty }{s_{n}x^n} = \sum_{n=1}^{ \infty }{s_{n-1}x^n}+ \sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^n} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^n}-s_{0}=x\sum_{n=1}^{ \infty }{s_{n-1}x^{n-1}}+\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-a_{0}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^n}-s_{0}=x\sum_{n=0}^{ \infty }{s_{n}x^{n}}+\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-a_{0}\\
S\left( x\right)-a_{0}=xS\left( x\right)+A\left( x\right)-a_{0}\\
S\left( x\right)\left( 1-x\right)=A\left( x\right)\\
S\left( x\right)=\frac{A\left( x\right) }{1-x}}\)

Funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}}\)
możesz znaleźć rozwijając w szereg Taylora \(\displaystyle{ \ln{\left| 1-x\right| }}\)
albo całkując szereg geometryczny

[pg2464]

Właściwie to można wyjaśnić, że te całki na początku są tylko dla ozdoby (bo one mnie podniecają), dopiero tam, gdzie korzystam z całkowania wyraz po wyrazie, mają one jakieś praktyczne znaczenie.

Można by ten początek inaczej zapisać tak:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}d_{n}x^{n}= \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{x^{n}}{k} \right)= \sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{n=k}^{+\infty}\left(\frac{x^{n}}{k}\right)=\\= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} \sum_{n=k}^{+\infty}x^{n}= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} \frac{x^{k}}{1-x}}\)

Prościej?

O co chodzi: w pierwszym przejściu pod zewnętrzną sumą zapisuję
\(\displaystyle{ \left( 1+...+\frac 1 n\right) x^{n}}\) po prostu jako
\(\displaystyle{ x^{n}+...+ \frac{x^{n}}{n}}\) - zwykła rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Następnie kluczowa rzecz: zmieniam kolejność sumowania (jeśli miałeś rachunek całkowy, to to jest taki dyskretny odpowiednik zmiany kolejności całkowania właśnie). Zamiast najpierw (wewnętrzna suma) sumować po \(\displaystyle{ k}\), a potem (zewnętrzna) po \(\displaystyle{ n}\), najpierw sumuję po \(\displaystyle{ n}\), a potem po \(\displaystyle{ k}\). Skoro \(\displaystyle{ 1\le n <\infty}\), zaś przy ustalonym \(\displaystyle{ n}\) indeks \(\displaystyle{ k}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\), to patrząc na to z drugiej strony, mamy, że \(\displaystyle{ 1\le k \le \infty}\), a przy ustalonym \(\displaystyle{ k}\) indeks \(\displaystyle{ n}\) rośnie od \(\displaystyle{ n=k}\).
Nie zawsze można wykonać taką zmianę kolejności sumowania, w tym momencie nie mam pod ręką kontrprzykładu, ale dość, że z tym trzeba trochę uważać.

Dalej z tym \(\displaystyle{ \sum_{n=k}^{+\infty} x^{n}}\) to po prostu wzór na sumę szeregu geometrycznego.

teraz wszystko zrozumiałem, wielkie dzięki