Witam, w rozwiązaniu funkcji rekurencyjnej nie rozumiem ostatniego przejscia, czy byłby ktoś wstanie mi to wytłumaczyć
Po rozkładzie na ułamki proste otrzymałem
\(\displaystyle{ A(z)= \frac{z ^{2} }{(1-z) ^{2}(1+z) }= \frac{- \frac{1}{4} }{1-z}+ \frac{ \frac{1}{2} }{(1-z) ^{2} } + \frac{ -\frac{1}{4} }{1+z}}\)
następnie było co takiego:
\(\displaystyle{ A(z)= \sum_{n \ge 0}^{}(- \frac{1}{4}+ \frac{1}{2}(n+1)- \frac{1}{4}(-1) ^{n} )z ^{n}}\)
Funkcja tworząca - równanie rekurencyjne
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Funkcja tworząca - równanie rekurencyjne
Wykorzystano wzór na sumę szeregu geometrycznego (dwukrotnie) i fakt, że wewnątrz koła zbieżności szeregi potęgowe można różniczkować wyraz po wyrazie.
Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego mamy tamto
\(\displaystyle{ \frac{- \frac{1}{4} }{1-z}= \sum_{n=0}^{ \infty } -\frac 1 4z^{n}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{ -\frac{1}{4} }{1+z}= \frac{ -\frac{1}{4} }{1-(-z)}= \sum_{n=0}^{+\infty} - \frac{1}{4}(-z)^{n}= \sum_{n=0}^{+\infty} - \frac{1}{4}(-1)^{n}z^{n}}\),
zaś ze zróżniczkowania stronami po \(\displaystyle{ z}\) tożsamości
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2} }{1-z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2} z^{n}}\)
(przy czym ten szereg różniczkujemy wyraz po wyrazie)
wynika \(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2} }{(1-z) ^{2} } = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2}z^{n-1}= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2}(n+1)z^{n}}\)
Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego mamy tamto
\(\displaystyle{ \frac{- \frac{1}{4} }{1-z}= \sum_{n=0}^{ \infty } -\frac 1 4z^{n}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{ -\frac{1}{4} }{1+z}= \frac{ -\frac{1}{4} }{1-(-z)}= \sum_{n=0}^{+\infty} - \frac{1}{4}(-z)^{n}= \sum_{n=0}^{+\infty} - \frac{1}{4}(-1)^{n}z^{n}}\),
zaś ze zróżniczkowania stronami po \(\displaystyle{ z}\) tożsamości
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2} }{1-z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2} z^{n}}\)
(przy czym ten szereg różniczkujemy wyraz po wyrazie)
wynika \(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2} }{(1-z) ^{2} } = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2}z^{n-1}= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2}(n+1)z^{n}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 26 lut 2014, o 23:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 11 razy
Funkcja tworząca - równanie rekurencyjne
dzięki, to już rozumiem, ale teraz przy innym równaniu trafiłem znów na problem.
oto równanie
\(\displaystyle{ a_{0}=2}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=3}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=5}\)
\(\displaystyle{ a_{n+3}=7a _{n+2} -16a _{n+1}+12a _{n}}\)
\(\displaystyle{ m=n+3}\)
\(\displaystyle{ A(z)= \frac{1 +3z +5z^{2}}{1 - 7z +16z^{2}-12^{3}}}\)
Po rozkładzie na ułamki proste
\(\displaystyle{ A(z)= \frac{ \frac{41}{4} }{x - \frac{1}{2} } + \frac{ \frac{-19}{8} }{(x - \frac{1}{2} )^{2}} + \frac{ \frac{32}{3} }{x- \frac{1}{3} }= \frac{41}{2(2x-1)}- \frac{19}{2(2x-1)^{2}}- \frac{32}{3x-1}}\)
i tu jest problem bo wynik jest postaci
\(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{ \sqrt{5} }(( \frac{1+ \sqrt{5} }{2} ) ^{n+3} )-(\frac{1- \sqrt{5} }{2} ) ^{n+3})}\))
oto równanie
\(\displaystyle{ a_{0}=2}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=3}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=5}\)
\(\displaystyle{ a_{n+3}=7a _{n+2} -16a _{n+1}+12a _{n}}\)
\(\displaystyle{ m=n+3}\)
\(\displaystyle{ A(z)= \frac{1 +3z +5z^{2}}{1 - 7z +16z^{2}-12^{3}}}\)
Po rozkładzie na ułamki proste
\(\displaystyle{ A(z)= \frac{ \frac{41}{4} }{x - \frac{1}{2} } + \frac{ \frac{-19}{8} }{(x - \frac{1}{2} )^{2}} + \frac{ \frac{32}{3} }{x- \frac{1}{3} }= \frac{41}{2(2x-1)}- \frac{19}{2(2x-1)^{2}}- \frac{32}{3x-1}}\)
i tu jest problem bo wynik jest postaci
\(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{ \sqrt{5} }(( \frac{1+ \sqrt{5} }{2} ) ^{n+3} )-(\frac{1- \sqrt{5} }{2} ) ^{n+3})}\))
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Funkcja tworząca - równanie rekurencyjne
To dziwne, bo mnie wychodzi \(\displaystyle{ A(z)= \frac{16z^{2}-11z+2}{1-7z+16z^{2}-12z^{3}}}\). Wprawdzie liczyć nie umiem, ale sprawdzałem to trzy razy.
-- 8 cze 2016, o 11:08 --
Chociaż gdy się nie umie liczyć, to można sprawdzać i 500 razy.-- 8 cze 2016, o 11:20 --W każdym razie pomijając Twoje czy moje błędy rachunkowe, sposób postępowania jest taki sam, jak poprzednio, ogólnie dla odpowiednich \(\displaystyle{ a,x,b}\) masz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ax+b}= \frac{1}{b} \frac{1}{1+ \frac{a}{b}x }= \frac{1}{b} \sum_{n=0}^{+\infty} \left( -\frac{ax}{b}\right)^{n}}\)
\(\displaystyle{ b\neq 0, \left| \frac{ax}{b} \right| <1}\), chyba tyle.
Po zróżniczkowaniu tego stronami mamy...
-- 8 cze 2016, o 11:08 --
Chociaż gdy się nie umie liczyć, to można sprawdzać i 500 razy.-- 8 cze 2016, o 11:20 --W każdym razie pomijając Twoje czy moje błędy rachunkowe, sposób postępowania jest taki sam, jak poprzednio, ogólnie dla odpowiednich \(\displaystyle{ a,x,b}\) masz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ax+b}= \frac{1}{b} \frac{1}{1+ \frac{a}{b}x }= \frac{1}{b} \sum_{n=0}^{+\infty} \left( -\frac{ax}{b}\right)^{n}}\)
\(\displaystyle{ b\neq 0, \left| \frac{ax}{b} \right| <1}\), chyba tyle.
Po zróżniczkowaniu tego stronami mamy...
-
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 26 lut 2014, o 23:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 11 razy
Funkcja tworząca - równanie rekurencyjne
pg2464 pisze: i tu jest problem bo wynik jest postaci
\(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{ \sqrt{5} }(( \frac{1+ \sqrt{5} }{2} ) ^{n+3} )-(\frac{1- \sqrt{5} }{2} ) ^{n+3})}\))
nie wiem czy gdzieś popełniam błędy rachunkowe , ale zarówno dla mojej jak i Twojej wersji nie wychodzi mi powyższy wynik, chyba że jest to alternatywna forma rozwiązania
to chyba błąd w opowiedziach, chyba powinno być
\(\displaystyle{ (n-1)2 ^{n}+3 ^{n}}\) ?
i wtedy chyba Twoje rozwiązanie byłoby bliższe ?
Ostatnio zmieniony 8 cze 2016, o 15:03 przez pg2464, łącznie zmieniany 1 raz.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Funkcja tworząca - równanie rekurencyjne
Ja nie rozumiem, skąd się bierze to rozwiązanie. Być może zastosowano równanie charakterystyczne.
Wybacz, ale mam ciekawsze rzeczy do roboty niż sprawdzanie po pięć razy obliczeń, może ktoś inny coś poradzi.
Wybacz, ale mam ciekawsze rzeczy do roboty niż sprawdzanie po pięć razy obliczeń, może ktoś inny coś poradzi.