Znajdź rozwiązanie zależności rekurencyjnej

[max123321]

Znajdź rozwiązanie następującej zależności rekurencyjnej stosując metodę wielomianu charakterystycznego:
\(\displaystyle{ a _{n}=7a _{n-1}-12a _{n-2}+12}\), dla \(\displaystyle{ n>2}\) oraz \(\displaystyle{ a _{0}=1,a _{1}=2}\).

[Premislav]

wielomian charakterystyczny: \(\displaystyle{ x^{2}-7x-12}\)
równanie charakterystyczne: \(\displaystyle{ x^{2}-7x+12=0}\)
pierwiastki równania charakterystycznego: \(\displaystyle{ x_{1}=3, x_{2}=4}\)
rozwiązanie ogólne równania jednorodnego: \(\displaystyle{ c_{1}3^{n}+c_{2}4^{n}}\).
Przewidujemy rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego w postaci wielomianu stopnia \(\displaystyle{ 0}\), bo część niejednorodna (\(\displaystyle{ =12}\)) jest wielomianem stopnia zero.
Tj. wstawiamy \(\displaystyle{ a_{n}=a}\) do równania niejednorodnego, to daje:
\(\displaystyle{ a=7a-12a+12}\), czyli \(\displaystyle{ 6a=12}\), więc \(\displaystyle{ a=2}\).
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:
podstawiamy w postaci \(\displaystyle{ a_{n}=c_{1}3^{n}+c_{2}4^{n}+2}\) kolejno \(\displaystyle{ n=0, n=1}\) i przyrównujemy do danych \(\displaystyle{ a_{0}}\) i \(\displaystyle{ a_{1}}\), co daje
prosty układ równań liniowych ze względu na \(\displaystyle{ c_{1}}\) i \(\displaystyle{ c_{2}}\). To już sobie policz, bo ja nie umiem odejmować (dwie próby i dwa błędy).

[Mariusz M]

Funkcja tworząca jest wygodniejsza , wystarczy wstawić ją do równania i równanie się samo rozwiązuje
ale z tego co widzę metodę masz narzuconą

Rozwiązania szczególnego nie musimy przewidywać
ponieważ istnieje analog uzmienniania stałych

[max123321]

A czemu podstawiamy \(\displaystyle{ a_{n}=a}\)? Dlaczego tak możemy sobie założyć? Przecież \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest postaci \(\displaystyle{ x ^{n}}\).

[Premislav]

Mamy równanie rekurencyjne niejednorodne postaci
\(\displaystyle{ a_{n}=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+f(n)}\), gdzie
\(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są pewnymi stałymi, równanie jednorodne
\(\displaystyle{ a_{n}=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}}\) ma rozwiązanie ogólne niebędące wielomianem,
zaś w tym przykładzie
\(\displaystyle{ f(n)}\) ze względu na \(\displaystyle{ n}\) jest wielomianem stopnia zero (stałą). Przewidujemy rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego w postaci wielomianu stopnia takiego, jak \(\displaystyle{ f(n)}\)(czyli tutaj zero).

To jest pewien schemat, skąd on się wziął, to nie wiem, rzadko się zdarza, żeby ktoś to tłumaczył (podobnie jest z metodą przewidywań w przypadku równań różniczkowych).

[Mariusz M]

408121.htm

Tu masz przykład uzmienniania stałych i jeśli już musisz użyć wielomianu
charakterystycznego to skorzystaj z uzmienniania stałych do znalezienia
całki szczególnej równania niejednorodnego

Podstawy rachunku różnicowego mogą być przydatne

[max123321]

A gdybyśmy mieli na przykład: \(\displaystyle{ a _{n}=7a _{n-1}-12a _{n-2}+12n}\) to jak wtedy byśmy postępowali? Trzeba by chyba wtedy przewidzieć czynnik liniowy?

[Premislav]

Zgadza się, wówczas przewidywalibyśmy rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego w postaci \(\displaystyle{ a_{n} =a\cdot n+b}\). Podstawiamy to do równania rekurencyjnego:
\(\displaystyle{ a\cdot n+b=7(a\cdot (n-1)+b)-12(a\cdot (n-2)+b)+12n}\)
i wyliczamy stąd \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) (przez przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach \(\displaystyle{ n}\) - tj. zerowej i pierwszej).

[max123321]

A jeśliby delta wyszła zero z równania charakterystycznego to jak byśmy postępowali? Jak należałoby przewidzieć rozwiązanie ogólne?

[Premislav]

W przypadku delty równej zero -tj. podwójnego pierwiastka równania charakterystycznego
mielibyśmy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego w postaci
\(\displaystyle{ a_{n}=c_{1}\lambda^{n}+c_{2}n\lambda^{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) to ten pierwiastek podwójny równania charakterystycznego, \(\displaystyle{ c_{1}}\) i \(\displaystyle{ c_{2}}\) to stałe.

Gdyby część niejednorodna była wielomianem od \(\displaystyle{ n}\) (jak tutaj \(\displaystyle{ 12n}\)), to rozwiązanie szczególne też przewidywalibyśmy w postaci wielomianu tego samego stopnia. Ale w przypadku innej części niejednorodnej mogłoby być inaczej. Tu masz krótki zbiór takich zasad:
6 cze 2016, o 23:56 --Jest pewien ból w tym, że nie zawiera to żadnego uzasadnienia, dlaczego akurat takie postaci przewidywanego rozwiązania szczególnego są odpowiednie (dlatego ja wolę już funkcje tworzące).

[Mariusz M]

Zakładamy że rozwiązanie szczególne rekurencji jest postaci
\(\displaystyle{ c_{n}\phi_{n}+d_{n}\psi_{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \phi_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ \psi_{n}}\) to rozwiązania szczególne rekurencji jednorodnej

Po wstawieniu tej postaci rozwiązania szczególnego do równania rekurencyjnego
dostajemy układ równań na różnice \(\displaystyle{ \Delta c_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta d_{n}}\)
Po rozwiązaniu układu równań otrzymane różnice sumujemy


Wyznacznik Casoratiego i wzory na różnice pojawiają się w rozwiązaniu układu równań metodą
Cramera , podobnie jak w przypadku równań różniczkowych pojawia się wrońskian i wzory na
pochodne funkcji uzmiennionych stałych

Funkcję tworzącą wystarczy tylko wstawić do równania i rachować
nie trzeba się nawet zastanawiać jak będzie wyglądać rozwiązanie równania jednorodnego