Witam.
Potrzebuję pomocy z rozwiązaniem zadania z matematyki dyskretnej , a dokładnie takiego :
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne rekurencji : \(\displaystyle{ a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}-2n-4}\)
A dokładnie podczas rozwiązywania tego zadania wychodzi mi ,że : n: 0=-2 co jest sprzeczne i przez to nie mogę zapisać rozwiązania ogólnego rekurencji.
Bardzo proszę o pomoc.
Matematyka dyskretna. Zadania z rekurencji
-
Slup
- Użytkownik
- Posty: 794
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Matematyka dyskretna. Zadania z rekurencji
Różnicujemy zadany ciąg tj.
\(\displaystyle{ b_n=a_n-a_{n-1}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ b_n=a_n-a_{n-1}=(-a_{n-1}+2a_{n-2}-2n-4)-(-a_{n-2}+2a_{n-3}-2n-2)=-(a_{n-1}-a_{n-2})+2(a_{n-2}-a_{n-3})-2=-b_{n-1}+2b_{n-2}+2}\)
Teraz znajdujesz wyraz ogólny ciągu \(\displaystyle{ b_n}\), a następnie:
\(\displaystyle{ a_n-a_{-1}=\sum_{k=0}^nb_n}\)
czyli:
\(\displaystyle{ a_n=\sum_{k=0}^nb_n+a_{-1}}\)
\(\displaystyle{ b_n=a_n-a_{n-1}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ b_n=a_n-a_{n-1}=(-a_{n-1}+2a_{n-2}-2n-4)-(-a_{n-2}+2a_{n-3}-2n-2)=-(a_{n-1}-a_{n-2})+2(a_{n-2}-a_{n-3})-2=-b_{n-1}+2b_{n-2}+2}\)
Teraz znajdujesz wyraz ogólny ciągu \(\displaystyle{ b_n}\), a następnie:
\(\displaystyle{ a_n-a_{-1}=\sum_{k=0}^nb_n}\)
czyli:
\(\displaystyle{ a_n=\sum_{k=0}^nb_n+a_{-1}}\)
-
kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Matematyka dyskretna. Zadania z rekurencji
\(\displaystyle{ \blue a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}-2n-4}\)
przy pomocy funkcji tworzącej \(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}}\); przyjmę, że \(\displaystyle{ \blue a_0=0\quad a_1=1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} a_nx^n= -\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}x^n+2\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^n-2\sum_{n=2}^{\infty}(n+1)x^n-2\sum_{n=2}^{\infty} x^n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n-a_0x^0-a_1x^1 = -\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n+1}+2\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+2}-2\sum_{n=2}^{\infty}\frac{d}{dx}x^{n+1}-2\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n-1-x\right)}\)
\(\displaystyle{ A(x)-a_0-a_1x = -x\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}+2x^2\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}-2\frac{d}{dx}\sum_{n=2}^{\infty}x^{n+1}-2\left(\frac{1}{1-x}-1-x\right)}\)
\(\displaystyle{ A(x)-x = -x\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}-a_0x^0\right)+2x^2A(x)-2\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+3}-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)-x = -x\left(A(x)-x_0\right)+2x^2A(x)-2\cdot\frac{d}{dx}\left(x^3\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)-x = -xA(x)+2x^2A(x)-2\cdot\frac{d}{dx}\left(x^3\cdot\frac{1}{1-x}\right)-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)-x = -xA(x)+2x^2A(x)-2\cdot\frac{3x^2(1-x)+x^3}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)+xA(x)-2x^2A(x)=\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+2+3x}\)
\(\displaystyle{ A(x)(1+x-2x^2)=\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+2+3x}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\frac{\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+2+3x}{1+x-2x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{31-(-1)^n31\cdot2^n-57n-9n^2}{27}\cdot x^n}\)
\(\displaystyle{ \red a_n=\frac{31-(-1)^n\cdot31\cdot2^n-57n-9n^2}{27}}\)
kolejne wyrazy to \(\displaystyle{ 0,1,-9,1,-31,19,-97,117,-331,...}\)
przy pomocy funkcji tworzącej \(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}}\); przyjmę, że \(\displaystyle{ \blue a_0=0\quad a_1=1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} a_nx^n= -\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}x^n+2\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^n-2\sum_{n=2}^{\infty}(n+1)x^n-2\sum_{n=2}^{\infty} x^n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n-a_0x^0-a_1x^1 = -\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n+1}+2\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+2}-2\sum_{n=2}^{\infty}\frac{d}{dx}x^{n+1}-2\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n-1-x\right)}\)
\(\displaystyle{ A(x)-a_0-a_1x = -x\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}+2x^2\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}-2\frac{d}{dx}\sum_{n=2}^{\infty}x^{n+1}-2\left(\frac{1}{1-x}-1-x\right)}\)
\(\displaystyle{ A(x)-x = -x\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}-a_0x^0\right)+2x^2A(x)-2\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+3}-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)-x = -x\left(A(x)-x_0\right)+2x^2A(x)-2\cdot\frac{d}{dx}\left(x^3\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)-x = -xA(x)+2x^2A(x)-2\cdot\frac{d}{dx}\left(x^3\cdot\frac{1}{1-x}\right)-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)-x = -xA(x)+2x^2A(x)-2\cdot\frac{3x^2(1-x)+x^3}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)+xA(x)-2x^2A(x)=\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+2+3x}\)
\(\displaystyle{ A(x)(1+x-2x^2)=\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+2+3x}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\frac{\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+2+3x}{1+x-2x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{31-(-1)^n31\cdot2^n-57n-9n^2}{27}\cdot x^n}\)
\(\displaystyle{ \red a_n=\frac{31-(-1)^n\cdot31\cdot2^n-57n-9n^2}{27}}\)
kolejne wyrazy to \(\displaystyle{ 0,1,-9,1,-31,19,-97,117,-331,...}\)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Matematyka dyskretna. Zadania z rekurencji
408121.htm
Tutaj metoda uzmienniania stałych
kinia7, dobrze że użyłaś funkcji tworzącej
Lepiej było przyjąć że \(\displaystyle{ a_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{1}}\)
są stałymi dowolnymi
\(\displaystyle{ a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}-2n-4\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}=-\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^n}+\sum_{n=2}^{ \infty }{2a_{n-2}x^n}- \sum_{n=2}^{ \infty }{2\left( n+1\right)x^n }- \sum_{n=2}^{ \infty }{2x^n}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-a_{0}-a_{1}x=-x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^n}+2x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-\sum_{n=0}^{ \infty }{2\left( n+1\right)x^n }+2+4x-2 \sum_{n=0}^{ \infty }{x^n}+2+2x\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-a_{0}-a_{1}x=-x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-a_{0}\right)+2x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-\sum_{n=0}^{ \infty }{2\left( n+1\right)x^n }+2+4x-2 \sum_{n=0}^{ \infty }{x^n}+2+2x\\
A\left( x\right)-a_{0}-a_{1}x-xA\left( x\right)+a_{0}x+2x^2A\left( x\right)-2 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n+1} \right)+4+6x-\frac{2}{1-x}\\
A\left( x\right)\left( 1+x-2x^2\right)=-2 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( \frac{x}{1-x} \right)- \frac{2}{1-x}+\left( a_{1}+a_{0}+6\right)x+\left( a_{0}+4\right)\\
A\left( x\right)\left( 1+x-2x^2\right)=-2\left( \frac{1}{1-x}+\frac{x}{\left( 1-x\right)^2 } \right)- \frac{2}{1-x} +\left( a_{1}+a_{0}+6\right)x+\left( a_{0}+4\right)\\
A\left( x\right)\left( 1+x-2x^2\right)=-\frac{2x}{\left( 1-x\right)^2 }-\frac{4}{1-x}+\left( a_{1}+a_{0}+6\right)x+\left( a_{0}+4\right)\\
A\left( x\right)=-\frac{2x}{\left( 1-x\right)^3\left( 1+2x\right) }-\frac{4}{\left( 1-x\right)^2\left( 1+2x\right) }+\frac{\left( a_{1}+a_{0}+6\right)x+\left( a_{0}+4\right)}{\left( 1-x\right)\left( 1+2x\right) }\\}\)
Tutaj metoda uzmienniania stałych
kinia7, dobrze że użyłaś funkcji tworzącej
Lepiej było przyjąć że \(\displaystyle{ a_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{1}}\)
są stałymi dowolnymi
\(\displaystyle{ a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}-2n-4\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}=-\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^n}+\sum_{n=2}^{ \infty }{2a_{n-2}x^n}- \sum_{n=2}^{ \infty }{2\left( n+1\right)x^n }- \sum_{n=2}^{ \infty }{2x^n}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-a_{0}-a_{1}x=-x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^n}+2x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-\sum_{n=0}^{ \infty }{2\left( n+1\right)x^n }+2+4x-2 \sum_{n=0}^{ \infty }{x^n}+2+2x\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-a_{0}-a_{1}x=-x\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-a_{0}\right)+2x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-\sum_{n=0}^{ \infty }{2\left( n+1\right)x^n }+2+4x-2 \sum_{n=0}^{ \infty }{x^n}+2+2x\\
A\left( x\right)-a_{0}-a_{1}x-xA\left( x\right)+a_{0}x+2x^2A\left( x\right)-2 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n+1} \right)+4+6x-\frac{2}{1-x}\\
A\left( x\right)\left( 1+x-2x^2\right)=-2 \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( \frac{x}{1-x} \right)- \frac{2}{1-x}+\left( a_{1}+a_{0}+6\right)x+\left( a_{0}+4\right)\\
A\left( x\right)\left( 1+x-2x^2\right)=-2\left( \frac{1}{1-x}+\frac{x}{\left( 1-x\right)^2 } \right)- \frac{2}{1-x} +\left( a_{1}+a_{0}+6\right)x+\left( a_{0}+4\right)\\
A\left( x\right)\left( 1+x-2x^2\right)=-\frac{2x}{\left( 1-x\right)^2 }-\frac{4}{1-x}+\left( a_{1}+a_{0}+6\right)x+\left( a_{0}+4\right)\\
A\left( x\right)=-\frac{2x}{\left( 1-x\right)^3\left( 1+2x\right) }-\frac{4}{\left( 1-x\right)^2\left( 1+2x\right) }+\frac{\left( a_{1}+a_{0}+6\right)x+\left( a_{0}+4\right)}{\left( 1-x\right)\left( 1+2x\right) }\\}\)
-
kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Matematyka dyskretna. Zadania z rekurencji
Rozpiszę przejście od \(\displaystyle{ A(x)}\) do \(\displaystyle{ a_n}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\frac{\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+2+3x}{1+x-2x^2}=\frac{\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2-2x}{(1-x)^2}+\frac{2-4x+2x^2}{(1-x)^2}+\frac{3x-6x^2+3x^3}{(1-x)^2}}{(1-x)(1+2x)}=\frac{7x^3-10x^2+x}{(1+2x)(1-x)^3}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{A}{1+2x}+\frac{B}{1-x}+\frac{Cx}{(1-x)^2}+\frac{Dx^2}{(1-x)^3}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{A(1-x)^3+B(1+2x)(1-x)^2+Cx(1+2x)(1-x)+Dx^2(1+2x)}{(1+2x)(1-x)^3}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{A-3Ax+3Ax^2-Ax^3+B-3Bx^2+2Bx^3+Cx+Cx^2-2Cx^3+Dx^2+2Dx^3}{(1+2x)(1-x)^3}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(-A+2B-2C+2D)x^3+(3A-3B+C+D)x^2+(-3A+C)x+A+B}{(1+2x)(1-x)^3}}=}\)
\(\displaystyle{ =\left[\begin{cases} -A+2B-2C+2D=7\\3A-3B+C+D=-10\\-3A+C=1\\A+B=0\end{cases}\right] =\frac{-\frac{31}{27}}{1+2x}+\frac{\frac{31}{27}}{1-x}+\frac{\frac{-66}{27}x}{(1-x)^2}+\frac{\frac{-18}{27}x^2}{(1-x)^3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-\frac{31}{27}}{1+2x}=-\frac{31}{27}\cdot\frac{1}{1+2x}=-\frac{31}{27}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2x)^n=-\frac{31}{27}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2)^nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-31\cdot(-2)^n}{27} x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{31}{27}}{1-x}=\frac{31}{27}\cdot\frac{1}{1-x}=\frac{31}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{31}{27}\cdot x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{-66}{27}x}{(1-x)^2}=\frac{-66x}{27}\cdot\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{-66x}{27}\cdot\frac{d}{dx}\frac{1}{1-x}=\frac{-66x}{27}\cdot\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{-66x}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dx}x^n=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{-66x}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{-66}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-66n}{27}\cdot x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{-18}{27}x^2}{(1-x)^3}=\frac{-9x^2}{27}\cdot\frac{2}{(1-x)^3}=\frac{-9x^2}{27}\cdot\frac{d^2}{dx^2}\frac{1}{1-x}=\frac{-9x^2}{27}\cdot\frac{d^2}{dx^2}\sum_{n=0}^{\infty} x^n=\frac{-9x^2}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d^2}{dx^2} x^n=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{-9x^2}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}=\frac{-9}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-9n(n-1)}{27}\cdot x^{n}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-31\cdot(-2)^n}{27} x^n+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{31}{27}\cdot x^n+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-66n}{27}\cdot x^n+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-9n(n-1)}{27}\cdot x^{n}=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-31\cdot(-2)^n}{27}+\frac{31}{27}+\frac{-66n}{27}+\frac{-9n(n-1)}{27} \right)\cdot x^n=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{27}\left(-31\cdot(-1)^n\cdot 2^n+31-57n-9n^2\right)\cdot x^n\quad \Rightarrow \quad a_n=\frac{31-(-1)^n\cdot31\cdot2^n-57n-9n^2}{27}}\)
-- 9 cze 2016, o 17:31 --
\(\displaystyle{ \blue a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}-2n-4}\)
przy pomocy funkcji tworzącej \(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} a_nx^n= -\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}x^n+2\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^n-2\sum_{n=2}^{\infty}(n+1)x^n-2\sum_{n=2}^{\infty} x^n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n-a_0x^0-a_1x^1 = -\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n+1}+2\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+2}-2\sum_{n=2}^{\infty}\frac{d}{dx}x^{n+1}-2\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n-1-x\right)}\)
\(\displaystyle{ A(x)-a_0-a_1x = -x\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}+2x^2\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}-2\frac{d}{dx}\sum_{n=2}^{\infty}x^{n+1}-2\left(\frac{1}{1-x}-1-x\right)}\)
\(\displaystyle{ A(x)-a_0-a_1x = -x\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}-a_0x^0\right)+2x^2A(x)-2\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+3}-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)-a_0-a_1x = -x\left(A(x)-a_0\right)+2x^2A(x)-2\cdot\frac{d}{dx}\left(x^3\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)-a_0-a_1x = -xA(x)+a_0x+2x^2A(x)-2\cdot\frac{d}{dx}\left(x^3\cdot\frac{1}{1-x}\right)-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)-a_0-a_1x = -xA(x)+a_0x+2x^2A(x)-2\cdot\frac{3x^2(1-x)+x^3}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)+xA(x)-2x^2A(x)=\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+(2+a_0+a_1)x+2+a_0}\)
\(\displaystyle{ A(x)(1+x-2x^2)=\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2(1-x)}{(1-x)^2}+\frac{(2x+a_0x+a_1x)(1-x)^2}{(1-x)^2}+\frac{(2+a_0)(1-x)^2}{(1-x)^2}}\)
\(\displaystyle{ A(x)(1-x)(1+2x)=\frac{(6+a_0+a_1)x^3-(8+a_0+2a_1)x^2+(a_1-a_0)x+a_0}{(1-x)^2}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\frac{(6+a_0+a_1)x^3-(8+a_0+2a_1)x^2+(a_1-a_0)x+a_0}{(1+2x)(1-x)^3}}\)
rozkład na ułamki proste
\(\displaystyle{ A(x)=\frac{A}{1+2x}+\frac{B}{1-x}+\frac{C}{(1-x)^2}+\frac{D}{(1-x)^3}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{A(1-x)^3}{1+2x}+\frac{B(1+2x)(1-x)^2}{1-x}+\frac{C(1+2x)(1-x)}{(1-x)^2}+\frac{D(1+2x)}{(1-x)^3}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(-A+2B)x^3+(3A-3B-2C)x^2+(-3A+C+2D)x+A+B+C+D}{(1+2x)(1-x)^3}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -A+2B=6+a_0+a_1 \\ 3A-3B-2C=-8-a_0-2a_1\\-3A+C+2D=a_1-a_0\\A+B+C+D=a_0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} A=\frac{-22+9a_0-9a_1}{27} \\ B=\frac{70+18a_0+9a_1}{27}\\C=\frac{-30}{27}\\D=\frac{-18}{27} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\frac{-22+9a_0-9a_1}{27}\cdot\frac{1}{1+2x}+\frac{70+18a_0+9a_1}{27}\cdot\frac{1}{1-x}+\frac{-30}{27}\cdot\frac{1}{(1-x)^2}+\frac{-18}{27}\cdot\frac{1}{(1-x)^3}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\frac{-22+9a_0-9a_1}{27}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-2)^nx^n+\frac{70+18a_0+9a_1}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}x^n+\frac{-30}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n+\frac{-18}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}x^n}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^n(-22+9a_0-9a_1)\cdot2^n}{27}+\frac{70+18a_0+9a_1}{27}-\frac{30n+30}{27}-\frac{9n^2+27n+18}{27}\right) x^n}\)
\(\displaystyle{ \red a_n=\frac{(-1)^n(-22+9a_0-9a_1)\cdot2^n-9n^2-57n+22+18a_0+9a_1}{27}}\)-- 11 cze 2016, o 18:26 --\(\displaystyle{ \blue a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}-2n-4}\)
stosując metodę wielomianu charakterystycznego
\(\displaystyle{ x^2+x-2=0}\)
\(\displaystyle{ x_1=-2\ \ \ x_2=1}\)
rozwiązanie ogólne równania jednorodnego
\(\displaystyle{ a_o=c_1(-2)^n+c_2\cdot1^n}\)
rozwiazanie szczególne
\(\displaystyle{ a_s=an^2+bn+c}\)
podstawiam do równania wyjściowego
\(\displaystyle{ an^2+bn+c=-(a(n-1)^2+b(n-1)+c)+2(a(n-2)^2+b(n-2)+c)-2n-4}\)
\(\displaystyle{ an^2+bn+c=-(an^2-2an+a+bn-b+c)+2(an^2-4an+4a+bn-2b+c)-2n-4}\)
\(\displaystyle{ an^2+bn+c=-an^2+2an-a-bn+b-c+2an^2-8an+8a+2bn-4b+2c-2n-4}\)
wszystko na lewą stronę
\(\displaystyle{ (6a+2)n-7a+3b+4=0}\)
\(\displaystyle{ 6a+2=0\quad \Rightarrow\quad a=-\frac13}\)
\(\displaystyle{ -7a+3b+4=0\quad \Rightarrow\quad b=-\frac{19}{9}}\)
\(\displaystyle{ a_s=-\frac13n^2-\frac{19}{9}n+c}\)
rozwiązanie ogólne
\(\displaystyle{ a_n=a_o+a_s=c_1(-2)^n+c_2-\frac13n^2-\frac{19}{9}n+c}\)
\(\displaystyle{ a_n=c_1(-2)^n+c_3-\frac13n^2-\frac{19}{9}n}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_0=c_1+c_3 \\ a_1=-2c_1+c_3-\frac{22}{9}\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} c_1=\frac{9a_0-9a_1-22}{27} \\ c_3=\frac{18a_0+9a_1+22}{27} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \red a_n=\frac{(9a_0-9a_1-22)\cdot(-2)^n+18a_0+9a_1+22-9n^2-57n}{27}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\frac{\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+2+3x}{1+x-2x^2}=\frac{\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2-2x}{(1-x)^2}+\frac{2-4x+2x^2}{(1-x)^2}+\frac{3x-6x^2+3x^3}{(1-x)^2}}{(1-x)(1+2x)}=\frac{7x^3-10x^2+x}{(1+2x)(1-x)^3}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{A}{1+2x}+\frac{B}{1-x}+\frac{Cx}{(1-x)^2}+\frac{Dx^2}{(1-x)^3}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{A(1-x)^3+B(1+2x)(1-x)^2+Cx(1+2x)(1-x)+Dx^2(1+2x)}{(1+2x)(1-x)^3}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{A-3Ax+3Ax^2-Ax^3+B-3Bx^2+2Bx^3+Cx+Cx^2-2Cx^3+Dx^2+2Dx^3}{(1+2x)(1-x)^3}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(-A+2B-2C+2D)x^3+(3A-3B+C+D)x^2+(-3A+C)x+A+B}{(1+2x)(1-x)^3}}=}\)
\(\displaystyle{ =\left[\begin{cases} -A+2B-2C+2D=7\\3A-3B+C+D=-10\\-3A+C=1\\A+B=0\end{cases}\right] =\frac{-\frac{31}{27}}{1+2x}+\frac{\frac{31}{27}}{1-x}+\frac{\frac{-66}{27}x}{(1-x)^2}+\frac{\frac{-18}{27}x^2}{(1-x)^3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-\frac{31}{27}}{1+2x}=-\frac{31}{27}\cdot\frac{1}{1+2x}=-\frac{31}{27}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2x)^n=-\frac{31}{27}\cdot \sum_{n=0}^{\infty} (-2)^nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-31\cdot(-2)^n}{27} x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{31}{27}}{1-x}=\frac{31}{27}\cdot\frac{1}{1-x}=\frac{31}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{31}{27}\cdot x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{-66}{27}x}{(1-x)^2}=\frac{-66x}{27}\cdot\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{-66x}{27}\cdot\frac{d}{dx}\frac{1}{1-x}=\frac{-66x}{27}\cdot\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{-66x}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dx}x^n=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{-66x}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{-66}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-66n}{27}\cdot x^n}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{-18}{27}x^2}{(1-x)^3}=\frac{-9x^2}{27}\cdot\frac{2}{(1-x)^3}=\frac{-9x^2}{27}\cdot\frac{d^2}{dx^2}\frac{1}{1-x}=\frac{-9x^2}{27}\cdot\frac{d^2}{dx^2}\sum_{n=0}^{\infty} x^n=\frac{-9x^2}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d^2}{dx^2} x^n=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{-9x^2}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)x^{n-2}=\frac{-9}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-9n(n-1)}{27}\cdot x^{n}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-31\cdot(-2)^n}{27} x^n+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{31}{27}\cdot x^n+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-66n}{27}\cdot x^n+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{-9n(n-1)}{27}\cdot x^{n}=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-31\cdot(-2)^n}{27}+\frac{31}{27}+\frac{-66n}{27}+\frac{-9n(n-1)}{27} \right)\cdot x^n=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{27}\left(-31\cdot(-1)^n\cdot 2^n+31-57n-9n^2\right)\cdot x^n\quad \Rightarrow \quad a_n=\frac{31-(-1)^n\cdot31\cdot2^n-57n-9n^2}{27}}\)
-- 9 cze 2016, o 17:31 --
Może masz racjęmariuszm pisze: kinia7, dobrze że użyłaś funkcji tworzącej
Lepiej było przyjąć że \(\displaystyle{ a_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{1}}\) są stałymi dowolnymi
\(\displaystyle{ \blue a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}-2n-4}\)
przy pomocy funkcji tworzącej \(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} a_nx^n= -\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}x^n+2\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^n-2\sum_{n=2}^{\infty}(n+1)x^n-2\sum_{n=2}^{\infty} x^n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n-a_0x^0-a_1x^1 = -\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n+1}+2\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+2}-2\sum_{n=2}^{\infty}\frac{d}{dx}x^{n+1}-2\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n-1-x\right)}\)
\(\displaystyle{ A(x)-a_0-a_1x = -x\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}+2x^2\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}-2\frac{d}{dx}\sum_{n=2}^{\infty}x^{n+1}-2\left(\frac{1}{1-x}-1-x\right)}\)
\(\displaystyle{ A(x)-a_0-a_1x = -x\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}-a_0x^0\right)+2x^2A(x)-2\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+3}-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)-a_0-a_1x = -x\left(A(x)-a_0\right)+2x^2A(x)-2\cdot\frac{d}{dx}\left(x^3\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)-a_0-a_1x = -xA(x)+a_0x+2x^2A(x)-2\cdot\frac{d}{dx}\left(x^3\cdot\frac{1}{1-x}\right)-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)-a_0-a_1x = -xA(x)+a_0x+2x^2A(x)-2\cdot\frac{3x^2(1-x)+x^3}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+2+2x}\)
\(\displaystyle{ A(x)+xA(x)-2x^2A(x)=\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2}{1-x}+(2+a_0+a_1)x+2+a_0}\)
\(\displaystyle{ A(x)(1+x-2x^2)=\frac{4x^3-6x^2}{(1-x)^2}-\frac{2(1-x)}{(1-x)^2}+\frac{(2x+a_0x+a_1x)(1-x)^2}{(1-x)^2}+\frac{(2+a_0)(1-x)^2}{(1-x)^2}}\)
\(\displaystyle{ A(x)(1-x)(1+2x)=\frac{(6+a_0+a_1)x^3-(8+a_0+2a_1)x^2+(a_1-a_0)x+a_0}{(1-x)^2}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\frac{(6+a_0+a_1)x^3-(8+a_0+2a_1)x^2+(a_1-a_0)x+a_0}{(1+2x)(1-x)^3}}\)
rozkład na ułamki proste
\(\displaystyle{ A(x)=\frac{A}{1+2x}+\frac{B}{1-x}+\frac{C}{(1-x)^2}+\frac{D}{(1-x)^3}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{A(1-x)^3}{1+2x}+\frac{B(1+2x)(1-x)^2}{1-x}+\frac{C(1+2x)(1-x)}{(1-x)^2}+\frac{D(1+2x)}{(1-x)^3}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(-A+2B)x^3+(3A-3B-2C)x^2+(-3A+C+2D)x+A+B+C+D}{(1+2x)(1-x)^3}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -A+2B=6+a_0+a_1 \\ 3A-3B-2C=-8-a_0-2a_1\\-3A+C+2D=a_1-a_0\\A+B+C+D=a_0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} A=\frac{-22+9a_0-9a_1}{27} \\ B=\frac{70+18a_0+9a_1}{27}\\C=\frac{-30}{27}\\D=\frac{-18}{27} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\frac{-22+9a_0-9a_1}{27}\cdot\frac{1}{1+2x}+\frac{70+18a_0+9a_1}{27}\cdot\frac{1}{1-x}+\frac{-30}{27}\cdot\frac{1}{(1-x)^2}+\frac{-18}{27}\cdot\frac{1}{(1-x)^3}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\frac{-22+9a_0-9a_1}{27}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}(-2)^nx^n+\frac{70+18a_0+9a_1}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}x^n+\frac{-30}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n+\frac{-18}{27}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}x^n}\)
\(\displaystyle{ A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^n(-22+9a_0-9a_1)\cdot2^n}{27}+\frac{70+18a_0+9a_1}{27}-\frac{30n+30}{27}-\frac{9n^2+27n+18}{27}\right) x^n}\)
\(\displaystyle{ \red a_n=\frac{(-1)^n(-22+9a_0-9a_1)\cdot2^n-9n^2-57n+22+18a_0+9a_1}{27}}\)-- 11 cze 2016, o 18:26 --\(\displaystyle{ \blue a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}-2n-4}\)
stosując metodę wielomianu charakterystycznego
\(\displaystyle{ x^2+x-2=0}\)
\(\displaystyle{ x_1=-2\ \ \ x_2=1}\)
rozwiązanie ogólne równania jednorodnego
\(\displaystyle{ a_o=c_1(-2)^n+c_2\cdot1^n}\)
rozwiazanie szczególne
\(\displaystyle{ a_s=an^2+bn+c}\)
podstawiam do równania wyjściowego
\(\displaystyle{ an^2+bn+c=-(a(n-1)^2+b(n-1)+c)+2(a(n-2)^2+b(n-2)+c)-2n-4}\)
\(\displaystyle{ an^2+bn+c=-(an^2-2an+a+bn-b+c)+2(an^2-4an+4a+bn-2b+c)-2n-4}\)
\(\displaystyle{ an^2+bn+c=-an^2+2an-a-bn+b-c+2an^2-8an+8a+2bn-4b+2c-2n-4}\)
wszystko na lewą stronę
\(\displaystyle{ (6a+2)n-7a+3b+4=0}\)
\(\displaystyle{ 6a+2=0\quad \Rightarrow\quad a=-\frac13}\)
\(\displaystyle{ -7a+3b+4=0\quad \Rightarrow\quad b=-\frac{19}{9}}\)
\(\displaystyle{ a_s=-\frac13n^2-\frac{19}{9}n+c}\)
rozwiązanie ogólne
\(\displaystyle{ a_n=a_o+a_s=c_1(-2)^n+c_2-\frac13n^2-\frac{19}{9}n+c}\)
\(\displaystyle{ a_n=c_1(-2)^n+c_3-\frac13n^2-\frac{19}{9}n}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_0=c_1+c_3 \\ a_1=-2c_1+c_3-\frac{22}{9}\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} c_1=\frac{9a_0-9a_1-22}{27} \\ c_3=\frac{18a_0+9a_1+22}{27} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \red a_n=\frac{(9a_0-9a_1-22)\cdot(-2)^n+18a_0+9a_1+22-9n^2-57n}{27}}\)