Witam czy może ktoś pomóc w poszukiwaniu ogólnego rozwiązania rekurencji danej wzorem:
\(\displaystyle{ a_n = -a_{n-1} + 2_{n-2} -2n -4}\).
Kiedy szukam rozwiązania szczególnego rekurencji niejednorodnej postaci An+B wychodzi sprzeczność i nie mogę się doliczyć.
Równanie rekurencyjne
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie rekurencyjne
Jakie masz pierwiastki równania charakterystycznego
Nie musisz przewidywać , w równaniach rekurencyjnych jest analog uzmienniania stałych
Zamiast wrońskianu liczysz casoratian , zamiast całkować sumujesz
Jeżeli chcesz uzmienniać stałe poczytaj trochę o rachunku różnicowym
dolna silnia , sumowanie przez części itp
\(\displaystyle{ a_n = -a_{n-1} + 2a_{n-2} -2n -4\\
a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_{n}-2n-8\\
\lambda^2=-\lambda+2\\
\lambda^2+\lambda-2=0\\
\left(\lambda+2 \right)\left( \lambda-1\right)=0\\
\det \begin{bmatrix} \left( -2\right) ^{n+1} & 1^{n+1}\\ \left( -2\right)^{n+2} &1^{n+2} \end{bmatrix} =\\
-2\left( -2\right)^{n}-4\left( -2\right)^{n}=-6\left( -2\right)^{n} \\
\det \begin{bmatrix} 0 & 1^{n+1}\\ -2n-8 &1^{n+2} \end{bmatrix} =0 \cdot 1^{n}-\left( -2n-8\right) \cdot 1^{n} \\
=2n+8\\
\det \begin{bmatrix} \left( -2\right) ^{n+1} & 0\\ \left( -2\right)^{n+2} &-2n-8 \end{bmatrix} =\left( 4n+16\right)\left( -2\right) ^{n}-0 \cdot \left( -2\right)^{n+2} \\
=\left( 4n+16\right)\left( -2\right) ^{n}\\
\Delta c_{n}=-\frac{2n+8}{6}\left( -\frac{1}{2} \right)^{n}\\
\Delta d_{n}= -\frac{2n+8}{3}\\
c_{n}= \sum_{k=0}^{n-1}{-\frac{2k+8}{6}\left( - \frac{1}{2} \right)^{k}} +c_{0}\\
d_{n}= \sum_{k=0}^{n-1}{-\frac{2k+8}{3}} +d_{0}\\
a_{s}=\left( -2\right)^{n}c_{n}+d_{n}}\)
Stałe \(\displaystyle{ c_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ d_{0}}\)
dobierasz wedle upodobania
Pierwszą sumę liczysz przez części
Drugą sumę liczysz korzystając z dolnej silni
Jak dla mnie funkcja tworząca jest wygodniejsza
Nie musisz przewidywać , w równaniach rekurencyjnych jest analog uzmienniania stałych
Zamiast wrońskianu liczysz casoratian , zamiast całkować sumujesz
Jeżeli chcesz uzmienniać stałe poczytaj trochę o rachunku różnicowym
dolna silnia , sumowanie przez części itp
\(\displaystyle{ a_n = -a_{n-1} + 2a_{n-2} -2n -4\\
a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_{n}-2n-8\\
\lambda^2=-\lambda+2\\
\lambda^2+\lambda-2=0\\
\left(\lambda+2 \right)\left( \lambda-1\right)=0\\
\det \begin{bmatrix} \left( -2\right) ^{n+1} & 1^{n+1}\\ \left( -2\right)^{n+2} &1^{n+2} \end{bmatrix} =\\
-2\left( -2\right)^{n}-4\left( -2\right)^{n}=-6\left( -2\right)^{n} \\
\det \begin{bmatrix} 0 & 1^{n+1}\\ -2n-8 &1^{n+2} \end{bmatrix} =0 \cdot 1^{n}-\left( -2n-8\right) \cdot 1^{n} \\
=2n+8\\
\det \begin{bmatrix} \left( -2\right) ^{n+1} & 0\\ \left( -2\right)^{n+2} &-2n-8 \end{bmatrix} =\left( 4n+16\right)\left( -2\right) ^{n}-0 \cdot \left( -2\right)^{n+2} \\
=\left( 4n+16\right)\left( -2\right) ^{n}\\
\Delta c_{n}=-\frac{2n+8}{6}\left( -\frac{1}{2} \right)^{n}\\
\Delta d_{n}= -\frac{2n+8}{3}\\
c_{n}= \sum_{k=0}^{n-1}{-\frac{2k+8}{6}\left( - \frac{1}{2} \right)^{k}} +c_{0}\\
d_{n}= \sum_{k=0}^{n-1}{-\frac{2k+8}{3}} +d_{0}\\
a_{s}=\left( -2\right)^{n}c_{n}+d_{n}}\)
Stałe \(\displaystyle{ c_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ d_{0}}\)
dobierasz wedle upodobania
Pierwszą sumę liczysz przez części
Drugą sumę liczysz korzystając z dolnej silni
Jak dla mnie funkcja tworząca jest wygodniejsza