Wyznacz funkcję tworzącą i na jej podstawie wzór na wyrazy ciągu oraz porównaj to z wynikami otrzymanymi poprzez badanie wielomianu charakterystycznego.
\(\displaystyle{ a_{0}=2 \\ a _{1}=5 \\ a_{n}= 4 a_{n-1} - 3a _{n-2}\\
a_{n} - 4 a_{n-1} + 3a _{n-2} = 0\\
x^{2}=4x - 3 \\
x^{2} - 4x + 3 = 0\\
\Delta = 16 - 12 \
\sqrt{\Delta}=2 \\
x_{1}=1 \
x_{2}=3\\
a_{n}= a 1 ^{n} + b 3^{n}\\\\
a _{0} \ 2=a+b \ \backslash \backslash *(-1))\\
a _{1} \ 5=a+3b\\\\
-2=-a - b\\
5= a + 3b\\\\
3=2b\\
b= \frac{3}{2}\\
2=a+ \frac{3}{2}\\
\\ a= \frac{1}{2}\\
\\ a_{n}= \frac{1}{2} ^{n} + \frac{3}{2}\ 3 ^{n}}\)
Teraz trzeba wyznaczyć II sposobem
\(\displaystyle{ a_{n} - 4 a_{n-1} + 3a _{n-2} = 0\\
G(X)= \ \sum_{n=0}^{ \infty } \ a _{n} \ x ^{n}\\
-4G \G(X)= \ \sum_{n=1}^{ \infty } \-4 \ a _{n - 1} \ x ^{n}\\
3GX^{2} \G(X)= \ \sum_{n=2}^{ \infty } \ 3 \ a _{n - 2} \ x ^{n}\\
1-4x+3x^{2} = (1-3x)(1-x) \\}\)
Teraz za bardzo nie wiem co dalej zrobić, mam wyznaczony mianownik tylko z licznikiem jest problem, powinno być coś w stylu:
\(\displaystyle{ \frac{A}{1-3x} \ + \frac{B}{1-x} = \ \frac{A(1-x)+B(1-3x)}{(1-3x)(1-x)}\
= \ \frac{(A+B)-(A+3B)x}{(1-3x)(1-x)}\\}\)
Wyznacz funkcję tworzącą
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Wyznacz funkcję tworzącą
Może bardziej zrozumiale:
\(\displaystyle{ f(x)= a_{0}x + a_{1}x +a_{2}x^{2}+ a_{3}x^{3}+ a_{4}x^{4}+...}\)
\(\displaystyle{ f(x)= 2 +5x +(4a_{1}-3a_{0})x^{2}+ (4a_{2}-3a_{1})x^{3}+ (4a_{3}-3a_{2})x^{4}+...}\)
\(\displaystyle{ f(x)= 2+5x +4(a_{1}x^{2}+a_{2}x^{3}+a_{3}x^{4}+...)-3(a_{0}x^{2}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{4}+...).}\)
\(\displaystyle{ f(x)= 2+5x +4x(a_{1}x +a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...)-3x^{2}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...).}\)
\(\displaystyle{ f(x)= 2 +5x +4x(f(x)- a_{0}) -3x^{2}f(x).}\)
\(\displaystyle{ f(x)= 2 +5x +4x(f(x)-2) - 3x^{2}f(x).}\)
\(\displaystyle{ f(x)[3x^{2}-4x +1]= 2 - 3x.}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2-3x}{3x^{2}-4x+1}.}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{-3\left(x-\frac{2}{3}\right)}{3(x-1)(x-3)}= \frac{-x +\frac{2}{3}}{(x-1)(x-3)}.}\)
Proszę przedstawić funkcję \(\displaystyle{ f}\) w postaci sumy dwóch ułamków prostych .
\(\displaystyle{ f(x)= a_{0}x + a_{1}x +a_{2}x^{2}+ a_{3}x^{3}+ a_{4}x^{4}+...}\)
\(\displaystyle{ f(x)= 2 +5x +(4a_{1}-3a_{0})x^{2}+ (4a_{2}-3a_{1})x^{3}+ (4a_{3}-3a_{2})x^{4}+...}\)
\(\displaystyle{ f(x)= 2+5x +4(a_{1}x^{2}+a_{2}x^{3}+a_{3}x^{4}+...)-3(a_{0}x^{2}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{4}+...).}\)
\(\displaystyle{ f(x)= 2+5x +4x(a_{1}x +a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...)-3x^{2}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...).}\)
\(\displaystyle{ f(x)= 2 +5x +4x(f(x)- a_{0}) -3x^{2}f(x).}\)
\(\displaystyle{ f(x)= 2 +5x +4x(f(x)-2) - 3x^{2}f(x).}\)
\(\displaystyle{ f(x)[3x^{2}-4x +1]= 2 - 3x.}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2-3x}{3x^{2}-4x+1}.}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{-3\left(x-\frac{2}{3}\right)}{3(x-1)(x-3)}= \frac{-x +\frac{2}{3}}{(x-1)(x-3)}.}\)
Proszę przedstawić funkcję \(\displaystyle{ f}\) w postaci sumy dwóch ułamków prostych .