Suma po wszystkich kombinacjach z powtórzeniami

[JakimPL]

Podczas rozwiązywania jednego z problemów z rachunku prawdopodobieństwa, trafiłem na pewną sumę:

\(\displaystyle{ p_n(N) = \frac{1}{N!}\sum_{0\leqslant k_1\leqslant\ldots\leqslant k_n\leqslant N}\frac{k_1\cdot\ldots\cdot k_n}{N^n}}\)

Czy ktoś ma pojęcie, jak sprytnie wyznaczyć tę sumę przy ustalonym \(\displaystyle{ N}\) lub wyrazić ją za pomocą jakichś wielomianów specjalnych (np. wielomianów Bernoulliego)?

[kicaj]

\(\displaystyle{ \frac{N^n (N+1)^n}{2^n N! N^n }}\)

[JakimPL]

Nie jest to poprawna formuła. Udało mi się to przeliczyć, jeżeli się nie pomyliłem, poprawny wzór to:

\(\displaystyle{ p_n(N) = \frac{1}{N!N^n}\left\{\begin{matrix}N+n\\N\\\end{matrix}\right\}}\)

gdzie powyższy symbol oznacza liczby Stirlinga drugiego rodzaju.