Podczas rozwiązywania jednego z problemów z rachunku prawdopodobieństwa, trafiłem na pewną sumę:
\(\displaystyle{ p_n(N) = \frac{1}{N!}\sum_{0\leqslant k_1\leqslant\ldots\leqslant k_n\leqslant N}\frac{k_1\cdot\ldots\cdot k_n}{N^n}}\)
Czy ktoś ma pojęcie, jak sprytnie wyznaczyć tę sumę przy ustalonym \(\displaystyle{ N}\) lub wyrazić ją za pomocą jakichś wielomianów specjalnych (np. wielomianów Bernoulliego)?
Suma po wszystkich kombinacjach z powtórzeniami
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Suma po wszystkich kombinacjach z powtórzeniami
Nie jest to poprawna formuła. Udało mi się to przeliczyć, jeżeli się nie pomyliłem, poprawny wzór to:
\(\displaystyle{ p_n(N) = \frac{1}{N!N^n}\left\{\begin{matrix}N+n\\N\\\end{matrix}\right\}}\)
gdzie powyższy symbol oznacza liczby Stirlinga drugiego rodzaju.
\(\displaystyle{ p_n(N) = \frac{1}{N!N^n}\left\{\begin{matrix}N+n\\N\\\end{matrix}\right\}}\)
gdzie powyższy symbol oznacza liczby Stirlinga drugiego rodzaju.