Dzien Dobry
Przedstawiam poniżej trzy zadania co do rozwiazania ktorych mam pewne watpliwosci wiec prosze o pomoc:
1.Ile jest sposobow rozdania 30 cukierkow dla 7 dzieci w ten spoosb azeby kazde dziecko mialo cukierka i kazde dziecko mialo parzysta liczbe cukierkow?
2.Klub sportowy ma 19 graczy , musi rozegrac w miesiacu 16 meczy , ile jest sposobow rozegrania meczy tak azeby wkazdym meczu gralo 14 zawodnikow?
3.W biegu stratuja zawodnicy ponumerowani od 1 do 5 . Ile jest spoosbow rozstrzygniecia biegu tak azeby zaden z biegaczy nie zajal miejsca zgodnego ze swoim numerem an koszulce?
Dzieki z gory za ewentualna pomoc
matematyka dyskretna
matematyka dyskretna
2. do kazdego meczu wybieramy 14 zawodnikow z 19 i powtarzamy to 16 razy, \(\displaystyle{ {{19}\choose {14}} ^{16}}\)
3. Chyba naokolo mi wychodzi:
Niech \(\displaystyle{ A_i , \: i=0,1,2,3,4,5}\) to bedzie przypadek, ze dokladnie \(\displaystyle{ i}\) zawodnikow przyszlo na swoim miejscu (zgodnym z numerem)
\(\displaystyle{ |A_0| = ??}\)
\(\displaystyle{ |A_1| = {5 \choose 1}\cdot 9 = 45}\) jedna osoba na swoim miejscu, a 4 nie na 9 sposobow, co policzylam analogicznie na boku: (**)
\(\displaystyle{ |A_2| = {5 \choose 2}\cdot 2 = 20}\) dwie osoby na swoich miejscach, a pozostale trzy nie na swoich miejscach na dwa sposoby
\(\displaystyle{ |A_3| = {5\choose 3}\cdot 1 = 10}\) trzy osoby na swoich miejscach, dwie pozostale nie, czyli dokladnie na miejscach "zamienionych"
\(\displaystyle{ |A_4| = 0}\) (bo ten piaty tez musial przyjsc na swoim miejscu)
\(\displaystyle{ |A_5| = 1}\)
Nas interesuje wartosc \(\displaystyle{ 5!-(A_5+A_4+A_3+A_2+A_1)= 44}\)
(**)\(\displaystyle{ 9 = 4! - ft({4\choose 4}\cdot{1}+{4\choose 3}\cdot{0}+{4\choose 2}\cdot{1}+{4\choose 1}\cdot{2}\right) = 24 -(1+0+6+8)}\)
Sposob jest dobry, ale jakos tak silowo
Widze ogolna zaleznosc:
\(\displaystyle{ A_{(n,k)}}\) - ile jest ustawien n zawodnikow, zeby dokladnie k bylo na swoich miejscach i mamy takie zaleznosci:
\(\displaystyle{ A_{(1,0)} = 0}\)
\(\displaystyle{ A_{(n,n)} = 1}\)
\(\displaystyle{ A_{(n,k)} = \cdot{A_{(n-k,0)}} \text{ dla }0}\)
3. Chyba naokolo mi wychodzi:
Niech \(\displaystyle{ A_i , \: i=0,1,2,3,4,5}\) to bedzie przypadek, ze dokladnie \(\displaystyle{ i}\) zawodnikow przyszlo na swoim miejscu (zgodnym z numerem)
\(\displaystyle{ |A_0| = ??}\)
\(\displaystyle{ |A_1| = {5 \choose 1}\cdot 9 = 45}\) jedna osoba na swoim miejscu, a 4 nie na 9 sposobow, co policzylam analogicznie na boku: (**)
\(\displaystyle{ |A_2| = {5 \choose 2}\cdot 2 = 20}\) dwie osoby na swoich miejscach, a pozostale trzy nie na swoich miejscach na dwa sposoby
\(\displaystyle{ |A_3| = {5\choose 3}\cdot 1 = 10}\) trzy osoby na swoich miejscach, dwie pozostale nie, czyli dokladnie na miejscach "zamienionych"
\(\displaystyle{ |A_4| = 0}\) (bo ten piaty tez musial przyjsc na swoim miejscu)
\(\displaystyle{ |A_5| = 1}\)
Nas interesuje wartosc \(\displaystyle{ 5!-(A_5+A_4+A_3+A_2+A_1)= 44}\)
(**)\(\displaystyle{ 9 = 4! - ft({4\choose 4}\cdot{1}+{4\choose 3}\cdot{0}+{4\choose 2}\cdot{1}+{4\choose 1}\cdot{2}\right) = 24 -(1+0+6+8)}\)
Sposob jest dobry, ale jakos tak silowo
Widze ogolna zaleznosc:
\(\displaystyle{ A_{(n,k)}}\) - ile jest ustawien n zawodnikow, zeby dokladnie k bylo na swoich miejscach i mamy takie zaleznosci:
\(\displaystyle{ A_{(1,0)} = 0}\)
\(\displaystyle{ A_{(n,n)} = 1}\)
\(\displaystyle{ A_{(n,k)} = \cdot{A_{(n-k,0)}} \text{ dla }0}\)
matematyka dyskretna
=>Zad 1
zał: cukierki nie są rozróżnialne
Jeżeli każde dziecko ma mieć co najmniej 1 cukierka i ma mieć ich parzystą ilość to znaczy, że każde dziecko ma mieć co najmniej 2 cukierki. Zostaje nam do rozdysponowania 16 cukierków. Każde dziecko ma dostać parzystą ilość cukierków, więc 2 cukierki traktuję jako 1, czyli mam do rozdania 8 podwojnych cukierkow 7 dzieciom. Mogę to zrobić na \(\displaystyle{ {8+7-1\choose 7-1}}\)sposobów
(to jak rozkładanie nierozróżnialnych kul do ponumerowanych urn)
zał: cukierki nie są rozróżnialne
Jeżeli każde dziecko ma mieć co najmniej 1 cukierka i ma mieć ich parzystą ilość to znaczy, że każde dziecko ma mieć co najmniej 2 cukierki. Zostaje nam do rozdysponowania 16 cukierków. Każde dziecko ma dostać parzystą ilość cukierków, więc 2 cukierki traktuję jako 1, czyli mam do rozdania 8 podwojnych cukierkow 7 dzieciom. Mogę to zrobić na \(\displaystyle{ {8+7-1\choose 7-1}}\)sposobów
(to jak rozkładanie nierozróżnialnych kul do ponumerowanych urn)