rownanie niejednorodne rekurencyjne

[Jozekban]

Podaj rozwiązania równania ogólnego i szczególnego

\(\displaystyle{ a_{n+2} = 4a_{n} +n+n^2+2^n+3^n}\)

Wielomian char.
\(\displaystyle{ x^2-4=0 \\
(x-2)(x+2)}\)
Ogólne:
\(\displaystyle{ a_n = C_12^n + C_2(-2)^n}\)
Szczegolne
\(\displaystyle{ b_n^2=n^3(An^2+Bn+C) \\\\
c_n^2=nC_32^n \\\\
d_n^2=C_43^n}\)

Czy dobrze przewidzialem rozwiązania szczególne?

[octahedron]

Według mnie \(\displaystyle{ b_n}\) bez tego \(\displaystyle{ n^3}\)

[Jozekban]

Aha to
\(\displaystyle{ b_n^2=An^2+Bn+C}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ b_n}\)

\(\displaystyle{ A(n+2)^2+B(n+2)+C=4(A(n)^2+B(n)+C)+n+n^2\\\\
n^2(A-4A-1)+n(4A+B-4B-1)+(4A+2B+C-4C)\\\\
n^2(-3A-1)+n(4A-3B-1)+(4A+2B-3C)\\\\
A= -\frac{1}{3} \ \ B = -\frac{7}{9} \ \C= -\frac{20}{9}}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ c_n}\)

\(\displaystyle{ (n+2)C_32^{n+2}= 4 \cdot nC_32^n + 2^n\\\\
(n+2)C_3 \cdot 4 - 4nC_3 = 1\\\\
4C_3(n-n+2) = 1\\
C_3 = \frac{1}{8}}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ d_n}\)

\(\displaystyle{ C_43^{n+2}-4 \cdot C_43^n=3^n\\\\
C_4(9-4) = 1\\\\
C_4 = \frac{1}{5}}\)

Rozwiazaniem rownania rekurencyjnego jest
\(\displaystyle{ a_n = C_12^n + C_2(-2)^n -\frac{1}{3}n^2-\frac{7}{9}n-\frac{20}{9}+\frac{1}{8}n2^n+ \frac{1}{5}3^n}\)

Tylko nie wiem czy dobrze policzylem ...

[Mariusz M]

Nie lepiej było z funkcji tworzącej skorzystać ?
\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}}\)

\(\displaystyle{ a_{n+2} = 4a_{n} +n+n^2+2^n+3^n\\
a_{n}=4a_{n-2}+n-2+n^2-3n+2+ \frac{1}{4} \cdot 2^{n} +\frac{1}{9} \cdot 3^n\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=\sum_{n=2}^{ \infty }{4a_{n-2}x^{n}}+\sum_{n=2}^{ \infty }{\left(n^2-3n+2 \right) x^{n}}+\sum_{n=2}^{ \infty }{\frac{1}{4} \cdot 2^{n}x^{n}} +\sum_{n=2}^{ \infty }{\frac{1}{9} \cdot 3^nx^{n}}}\)