Dwumian Newtona

[mozeto]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n { n \choose k}^2 = {2n \choose n}}\)

[dec1]

Proponuję indukcję

[mozeto]

Chyba, że ktoś mógłby mi pomóc wymnożyć to:
\(\displaystyle{ [{n \choose 0} x^{n} + {n \choose 1} x^{n-1} + {n \choose 2} x^{n-2} +...+ {n \choose n} x^{0}] \cdot [{n \choose 0} x^{n} + {n \choose 1} x^{n-1} + {n \choose 2} x^{n-2} +...+ {n \choose n} x^{0}]}\)

[Premislav]

Inne podejście:
zauważmy, że \(\displaystyle{ {n \choose k}={n \choose n-k}}\). A dalej interpretacja kombinatoryczna: po prawej jasne - wybieramy \(\displaystyle{ n}\) spośród \(\displaystyle{ 2n}\) zakładników, których zabijemy.
Po lewej stronie to samo: dla \(\displaystyle{ k=0,...n}\) możemy wybrać najpierw \(\displaystyle{ k}\) spośród \(\displaystyle{ n}\)
i zabić ich przed zjedzeniem kolacji, a potem po kolacji \(\displaystyle{ n-k}\) spośród \(\displaystyle{ n}\) pozostałych, by łącznie zabić \(\displaystyle{ n}\).

-- 20 maja 2016, o 20:36 --

Opowiadanie dobrałem pasujące do tego, co niestety będziemy mieć w Europie po zaproszeniu "uchodźców".-- 20 maja 2016, o 20:43 --Ale Twój pomysł też jest OK.

A indukcja to chyba w tym przypadku najgorszy pomysł (nic osobistego, tylko po prostu dużo przy tym babraniny).

[M Maciejewski]

Premislav: jak spostrzegłem, że ktoś dowodzi to kombinatorycznie, to pomyślałem, że będzie coś w stylu: wybieramy \(\displaystyle{ n}\)-osobową drużynę z grupy \(\displaystyle{ 2n}\) osób, z których \(\displaystyle{ n}\) to chłopcy, a \(\displaystyle{ n}\) to dziewczęta. A tu takie coś.