Prostopadłościan na kracie

[docze]

Cześć, mam duży problem z zadaniem. Czy ktoś jest w stanie je rozwiązać?
Rozważmy prostopadłościany o wierzchołkach w punktach kratowych (o wszystkich współrzędnych całkowitych), zawarte w sześcianie wyznaczonym przez punkty \(\displaystyle{ (0, 0,0)}\) i \(\displaystyle{ (n, n, n)}\) . Ile istnieje takich prostopadłościanów?

[Premislav]

Każdy prostopadłościan jest jednoznacznie wyznaczony przez którąkolwiek ze swoich przekątnych.
Zatem odpowiedź to liczba wszystkich możliwych przekątnych podzielona przez \(\displaystyle{ 4}\), bo zliczając przekątne, każdy prostopadłościan zliczasz cztery razy. No a przekątną może być odcinek zakończony punktami, które różnią się na każdej z trzech współrzędnych (tylko pamiętaj, żeby nie wyjechać poza tę bryłkę \(\displaystyle{ n\times n \times n}\)).
To sobie policz, bo ja nie umiem rachować.

[arek1357]

Jeśli założymy, że:

\(\displaystyle{ x_{1}<x_{2} \wedge y_{1}<y_{2} \wedge z_{1}<z_{2}}\)

to nie trzeba dzielić przez cztery

gdzie:

\(\displaystyle{ \left( x_{1},y_{1},z_{1}\right)}\) - współrzędna dolna przekątnej

\(\displaystyle{ \left( x_{2},y_{2},z_{2}\right)}\) - współrzędna górna przekątnej

Wychodzi:

\(\displaystyle{ {n+1 \choose 2}^3}\)

Sprawdzałem w 2D i dla przypadku \(\displaystyle{ n=2}\) i działa.

[kerajs]

A co z prostopadłościanami np: typu:
\(\displaystyle{ (0,1,0),(1,0,0), (2,1,0) , (1,2,0), \\
(0,1,1),(1,0,1), (2,1,1), (1,2,1)}\)
czy
\(\displaystyle{ (0,2,0),(1,0,0), (3,1,0) , (1,2,0), \\
(0,2,1),(1,0,1), (3,1,1), (1,2,1)}\)
i innymi?

Czy są prostopadłościany o wspólnej przekątnej?i

[arek1357]

No tak dochodzą takie co ich ściany nie są równoległe do ścian układu.

Ciężko dopasować do tego jakiś wzór...



Mam pewien pomysł ale funkcjonuje w przestrzeni 2D w 3D chyba nie do końca...
Przy czasie przedstawie rozumowanie


Spróbujmy najpierw zajmijmy się przypadkiem dwuwymiarowym czyli ile prostokątów zmieści się w kwadracie kratowym o wymiarze nxn.

Zajmę się tylko przypadkiem ukośnych prostokątów czyli takich, których boki nie są równoległe do osi układu współrzędnych, bo ostatni przypadek został rozwiązany.

Teraz zajmijmy się konkretnie tymi prostokątami skośnymi, których wierzchołki leżą na bokach kwadratu
o danym wymiarze jak poniżej:

Dla n=1 nie ma o czym mówić bo nie ma prostokątów wcale,

Dla n=2 punktów w kwadracie jest cztery i brak prostokątów ukośnych

dla n=3 mamy 9 punktów prostokątów ukośnych jest jeden - kwadrat,

dla n=4 mamy 16 punktów kratowych , prostokątów ukośnych jest \(\displaystyle{ 2 \cdot 2=4}\)

dla n=5 jest ..... \(\displaystyle{ 3 \cdot 3=9}\)

ogólnie:

dla n dowolnego mamy: \(\displaystyle{ (n-2) \cdot (n-2)=(n-2)^2}\)

A teraz jeśli chcemy wiedzieć ile jest wszystkich skośnych prostokątów w kwadracie nxn

Musimy liczyć ilość mniejszych kwadratów zawartych w kwadracie nadrzędnym i mnożyć przez ilość zawartych w nich prostokątów skośnych.

zacznijmy od n=4 kwadrat 4x4. Jest w nim cztery kwadraty o wymiarze 3x3,
w każdym kwadracie 3X3 jest jeden prostokąt ukośny a więc wszystkich ukośnych będzie:

\(\displaystyle{ 1 \cdot 4+4}\) ponieważ dochodzi cztery ukośne oparte na krawędziach jak w przykładzie wyżej

podobnie będzie dla kwadratu 5x5,

obliczymy ile jest w nim :

kwadratów o wymiarze 3x3, 4x4,

tych pierwszych jest w nim \(\displaystyle{ 3 \cdot 3=9}\), a tych drugich jest w nim \(\displaystyle{ 2 \cdot 2=4}\)

teraz liczmy ukośniaki:

w każdym kwadracie 3x3 jest jeden ukośniak, w drugim w każdym jest po cztery...

reasumując otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 3^2 \cdot 1+2^2 \cdot 4+1 \cdot 9}\) oczywiście liczę dla każdego przypadku krawędziowe.

uogólniając dla kwadratu \(\displaystyle{ n \times n}\) otrzymamy wzór:

\(\displaystyle{ A_{n}=(n-2)^2 \cdot 1^2+(n-3)^2 \cdot 2^2+(n-4)^2 \cdot 3^2+...+1^2 \cdot (n-2)^2}\)

Idąc za ciosem dla przypadku przestrzeni trój wymiarowej i prostopadłościanów ukośnych, z moich obserwacji:

ukośne prostopadłościany (ścianowe - czyli te których wierzchołki leżą na ścianach sześcianu kratowego) to te, których:

cztery wierzchołki leżą na jednaj ścianie sześcianu a pozostałe cztery to te, które leżą na ścianie równoległej i brane po skosie tak, żeby krawędzie nie były równoległe do osi układu, co pomoże nam powyższy wzór na \(\displaystyle{ A_{n}}\)

Drugi przypadek to taki gdzie każdy wierzchołek leży na innej ścianie sześcianu , ale wychodzi na to z obserwacji, że wierzchołki leżą tylko na wewnętrznych punktach kratowych ścian sześcianu co da:

\(\displaystyle{ (n-2)^2}\) - możliwości.

Może są jeszcze inne przypadki, które nie zauważyłem.

Czyli ilość skośnych prostopadłościanów w sześcianie o wymiarze \(\displaystyle{ n \times n \times n}\)

powinna wynosić dla prostopadłościanów których cztery wierzchołki zawierają się w jednej ścianie sześcianu i zostaje zużyte dwie ściany sześcianu:

\(\displaystyle{ 3 \sum_{i=3}^{n} A_{i}}\)

Potem są prostopadłościany, których dwa wierzchołki zawierają się w jednej ścianie , i zostaje zużyte na to cztery ściany sześcianu.

Ostatni przypadek to taki w którym dwa wierzchołki prostopadłościanu zawierają się w dwóch ścianach sześcianu, a pozostałe dwa (z tej samej ściany w drugiej ścianie sześcianu).

I to raczej wszystkie przypadki, dobranie wzoru do dwóch ostatnich przypadków jest dość kłopotliwe...