Permutacje cykl

timus221 · Post autor: **timus221** » 15 maja 2016, o 12:39

\(\displaystyle{ f= {1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \choose 1 \ 5 \ 2 \ 3 \ 6 \ 4 \ 7 }}\) , \(\displaystyle{ g=(1,2), h=(2,3,1,5,4)}\)

Przedstawic \(\displaystyle{ hg}\) oraz \(\displaystyle{ (hgf)^{-1}}\) w postaci iloczynu cykli rozlacznych

W jaki sposob nalezy to wykonac ?

Yelon · Post autor: **Yelon** » 15 maja 2016, o 14:32

hmm może po prostu je złożyć i zobaczyć co się dzieje:
\(\displaystyle{ g=(1,2)}\), \(\displaystyle{ h=(2,3,1,5,4)}\).
Teraz \(\displaystyle{ hg=(2,3,1,5,4)(1,2)}\), czyli:

\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3}\)

\(\displaystyle{ 2 \rightarrow 1 \rightarrow 5}\)

\(\displaystyle{ 3 \rightarrow 3 \rightarrow 1}\)

\(\displaystyle{ 4 \rightarrow 4 \rightarrow 2}\)

\(\displaystyle{ 5 \rightarrow 5 \rightarrow 4}\)

zatem \(\displaystyle{ hg=(1,3)(2,5,4)}\).

Drugi analogicznie, tylko że składasz trzy a nie dwie, no i musisz odwrócić permutacje.

timus221 · Post autor: **timus221** » 15 maja 2016, o 15:22

dziękuje
czyli dla \(\displaystyle{ hgf}\) będzie \(\displaystyle{ (1,2,6,4,5,7)(3) ?}\)
i jak zrobic odwrocenie ?

Andreas · Post autor: **Andreas** » 15 maja 2016, o 18:14

To nie jest dobrze. Pokaż swój sposób.

Permutacja odwrotna to po prostu... zamieniasz wiersze \(\displaystyle{ f= {1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \choose 1 \ 5 \ 2 \ 3 \ 6 \ 4 \ 7 }}\) na \(\displaystyle{ f^{-1}= {1 \ 5 \ 2 \ 3 \ 6 \ 4 \ 7 \choose 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 }}\) i porządkujesz.

timus221 · Post autor: **timus221** » 15 maja 2016, o 18:29

chyba zrobilem \(\displaystyle{ fgh}\) zamiast \(\displaystyle{ hgf}\)

ale dla \(\displaystyle{ hgf}\) robie tak :
\(\displaystyle{ h=(2,3,1,5,3,4), g =(1,2), f =(1,5,2,3,6,4,7)}\)

\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \\
4 \rightarrow 7 \\
7 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \\
3 \rightarrow 6 \\
6 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \\
2 \rightarrow 3 \rightarrow 1}\)

Więc wychodzi
\(\displaystyle{ (1,4,7,3,6,2) (5)}\)

Yelon · Post autor: **Yelon** » 15 maja 2016, o 18:40

z tego jak zapisałeś \(\displaystyle{ f}\) (w jednym cyklu), wynikałoby, że \(\displaystyle{ 1 \rightarrow 5}\), podczas gdy, \(\displaystyle{ f}\) przeprowadza \(\displaystyle{ 1 \rightarrow 1}\).

timus221 · Post autor: **timus221** » 15 maja 2016, o 18:57

Więc jak nalezy to zapisac ?

Znalazlem bład i zle tam zapisalem,powinno byc tak,ale to chyba nie zmienia faktu,że zle zapisane jest dla f,
\(\displaystyle{ h=(2,3,1,5,3,4),g =(1,2),f =(1,5,2,3,6,4,7)}\)

\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 5 \rightarrow 3 \\
3 \rightarrow 6 \\
6 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \\
2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \\
4 \rightarrow 7 \\
7 \rightarrow 1}\)

\(\displaystyle{ (3,6,2,4,7,1)(5)}\)

Yelon · Post autor: **Yelon** » 15 maja 2016, o 19:04

@Andreas pokazał jak zapisać \(\displaystyle{ f^{-1}}\). Najpierw zamieniasz wiersze (pierwszy z drugim), a potem tak porządkujesz kolumny, żeby pierwszy wiersz był uporządkowany.

na przykład chcę odwrócić: \(\displaystyle{ {1 \ 2 \ 3 \ 4 \choose 3 \ 1 \ 4 \ 2}}\).

Najpierw zamieniam wiersze \(\displaystyle{ {3 \ 1 \ 4 \ 2 \choose 1 \ 2 \ 3 \ 4}}\), a potem porządkuję \(\displaystyle{ {1 \ 2 \ 3 \ 4 \choose 2 \ 4 \ 1 \ 3}}\).

timus221 · Post autor: **timus221** » 15 maja 2016, o 19:09

No tak ale jesli mam przedstawic \(\displaystyle{ (hgf) ^{-1}}\) to nie nalezy najpierw zrobic zlozenia \(\displaystyle{ hgf}\) a dopiero potem to co wyjdzie odwrocic ?

Czyli to co mi wyszlo wyzej \(\displaystyle{ (3,6,2,4,7,1)(5)}\) odwrocic ?

Yelon · Post autor: **Yelon** » 15 maja 2016, o 19:23

Możesz albo liczyć najpierw to pod nawiasem i odwrócić, albo pamiętać że \(\displaystyle{ (abc)^{-1}=c^{-1}b^{-1}a^{-1}}\).

\(\displaystyle{ (3,6,2,4,7,1)(5)}\) wyląda ok, więc jeśli nie ma jakiegoś, błędu, którego teraz nie widzę, to tak, wystarczy odwrócić i koniec.

timus221 · Post autor: **timus221** » 15 maja 2016, o 19:29

\(\displaystyle{ (3,6,2,4,7,1)(5)}\)

Dzięki wielkie,tylko ze w jaki sposob dla policzonego wykonac odwrocenie ?

Bo chyba nie tak
\(\displaystyle{ hgf^{-1}= {1 \ 5 \ 2 \ 3 \ 6 \ 4 \ \choose 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ }}\)

Yelon · Post autor: **Yelon** » 15 maja 2016, o 19:35

no masz \(\displaystyle{ (3,6,2,4,7,1)(5)={1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \choose 3 \ 4 \ 6 \ 7 \ 5 \ 2 \ 1}}\). No i to odwracasz: \(\displaystyle{ {1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \choose 7 \ 6 \ 1 \ 2 \ 5 \ 3 \ 4}=(1,7,4,2,6,3)(5)}\)

Andreas · Post autor: **Andreas** » 15 maja 2016, o 22:33

No ale dalej jest źle. Nie trzeba nawet sprawdzać, bo łatwo widać, że 7 zawsze przejdzie na 7 i to się nie zmieni ani w złożeniu, ani w permutacji odwrotnej.

\(\displaystyle{ f= {1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \choose 1 \ 5 \ 2 \ 3 \ 6 \ 4 \ 7 }}\) to nie to samo co \(\displaystyle{ f =(1,5,2,3,6,4,7)}\)!!

Żeby przekształcić f na iloczyn cykli rozłącznych, musisz czytać permutację kolumnami.
\(\displaystyle{ f=(1)(2,5,6,4,3)(7)}\)

Yelon · Post autor: **Yelon** » 15 maja 2016, o 22:47

Aaa faktycznie, dzięki za czujność. Skupiłem się na samym odwracaniu. @timus221, pisałem Ci o tym wcześniej:

Yelon pisze:z tego jak zapisałeś \(\displaystyle{ f}\) (w jednym cyklu), wynikałoby, że \(\displaystyle{ 1 \rightarrow 5}\), podczas gdy, \(\displaystyle{ f}\) przeprowadza \(\displaystyle{ 1 \rightarrow 1}\).

Rozpisz to jeszcze raz, a reszte już umiesz.

timus221 · Post autor: **timus221** » 16 maja 2016, o 20:27

W takim razie jesli mam \(\displaystyle{ f=(1)(2,5,6,4,3)(7)}\) to jak bedzie to wygladało dla \(\displaystyle{ hgf}\) ?

Pomijam \(\displaystyle{ (1)}\) i \(\displaystyle{ (7)}\) ?

\(\displaystyle{ h=(2,3,1,5,4),g =(1,2),f =(2,5,6,4,3)}\)

\(\displaystyle{ 2 \rightarrow 5 \rightarrow 4}\)
\(\displaystyle{ 4 \rightarrow 3 \rightarrow 1}\)
\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3}\)
\(\displaystyle{ 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 5}\)
\(\displaystyle{ 5 \rightarrow 6}\)
\(\displaystyle{ 6 \rightarrow 4 \rightarrow 2}\)

\(\displaystyle{ (2,4,1,3,5,6,2)}\) Chyba cos nie tak bo brakuje \(\displaystyle{ (7)}\) i z ta \(\displaystyle{ 1}\) nie wiem jak