Rozwiąż równanie rekurencyjne

[wassabi]

Mam takie o to polecenie: Rozwiąż równanie rekurencyjne
\(\displaystyle{ a_n=a_{n-2}+n}\)

\(\displaystyle{ a_0=1}\)

\(\displaystyle{ a_1=2}\)

Robimy to według schematu:
1. Rozwiązujemy równanie jednorodne
2. Szukamy rozwiązania szczególnego
3. Rozwiązaniem ogólnym rekurencji jest
4. Wyznaczamy stałe z warunków początkowych

Tylko zupełnie nie mam pojęcia jak to się robi mimo, że mam rozwiązanie.
Mógłby ktoś krok po kroku wyjaśnić na przykładzie tego zadania? Lub dać jakieś instrukcje/filmiki/linki do książek?

[miodzio1988]

Pokaż rozwiązanie krok po kroku i pisz czego dokładnie nie rozumiesz -wyjaśnimy

[Mariusz M]

Ja to rozwiązuję wg trochę innego schematu

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n}=a_{n-2}+n \\ a_{0}=1\\a_{1}=2 \end{cases}\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }x^{n}=\frac{1}{1-x} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }nx^{n-1}=-\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 } \cdot \left( -1\right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }nx^{n}=\frac{x}{\left( 1-x\right)^2 }\\}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}=\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^n}+\sum_{n=2}^{ \infty }{nx^n}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}=x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}}+\sum_{n=2}^{ \infty }{nx^n}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-1-2x=x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+\sum_{n=0}^{ \infty }{nx^n}-0-x\\
A\left( x\right)-1-2x=x^2A\left( x\right)+\frac{x}{\left( 1-x\right)^2 }-x\\
A\left( x\right)\left( 1-x^2\right)=1+x+\frac{x}{\left( 1-x\right)^2 }\\
A\left( x\right)=\frac{1+x}{1-x^2}+\frac{x}{\left( 1-x\right)^2\left( 1-x^2\right) }\\
A\left( x\right)=\frac{1}{1-x}+\frac{x}{\left( 1-x\right)^3\left( 1+x\right) }\\
A\left( x\right)=\frac{\left( 1-x\right)\left( 1-x^2\right) +x }{\left( 1-x\right)^3\left( 1+x\right)}\\
A\left( x\right)=\frac{1-x^2-x+x^3+x}{\left( 1-x\right)^3\left( 1+x\right)} \\
A\left( x\right)=\frac{x^3-x^2+1}{\left( 1-x\right)^3\left( 1+x\right)}\\}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^3-x^2+1}{\left( 1-x\right)^3\left( 1+x\right)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{\left( 1-x\right)^2 }+\frac{C}{\left( 1-x\right)^3 }+\frac{D}{1+x}}\)

[Premislav]

Można również skorzystać z własności ciągów arytmetycznych i sum teleskopowych.

Widzimy, że zachodzi \(\displaystyle{ a_{n}-a_{n-2}=n}\), zatem te ciągi różnic są arytmetyczne i mamy:
\(\displaystyle{ a_{2n}=a_{2n}-a_{2n-2}+a_{2n-2}+...+a_{2}-a_{0}+a_{0}=n(n+1)+1}\) ze wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego
i analogicznie \(\displaystyle{ a_{2n+1}=a_{2n+1}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-3}+...+a_{1}=(n-1)(n+2) +2=n(n+1)}\)

[Mariusz M]

Podał schemat więc powinien z niego skorzystać bo mogą się przyczepić
i mu nie uznać
Ja używam funkcji tworzących bo pozwalają nieco więcej równań rekurencyjnych rozwiązać
no i po wstawieniu do równania każdy krok metody wynika z poprzedniego
Nie trzeba także zapamiętywać jak należy przewidzieć postać niejednorodną czy co
zrobić z pierwiastkami wielokrotnymi wielomianu charakterystycznego równania jednorodnego

[wassabi]

Dzięki za zainteresowanie tematem i odpowiedzi, dopiero teraz mogłem odpisać.

Schemat - rozwiązanie jakie mam zapisane do tego zadania - z ćwiczeń.
1. Rozwiązujemy równanie jednorodne
\(\displaystyle{ a^{ \left( 1 \right) }_n-a^{ \left( 1 \right) }_{n-2}\\
x^n=x^{n-2}/:x^{n-2}\\
\frac{x^n}{ x^{n-2}}=\frac{x^n-2}{ x^{n-2}}\\
x^2=1\\
x^2-1=0\\
x_1=1 \wedge x_2 = -1}\)
Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ a_n^{ \left( 1 \right) } = C_1+C_2 \cdot \left( -1 \right) ^n}\)

2. Szukamy rozw szczególnego
\(\displaystyle{ a_n^{ \left( 2 \right) }=n \left( A_n+B \right) \\
n \left( A_n+B \right) = \left( n-2 \right) \left( A \left( n-2 \right) +B \right) +n\\
An^2+Bn= \left( n-2 \right) \left( An-2A+B \right) +n\\
An^2+Bn=An^2-2An+Bn-2An+4A-2B+n\\
-4An+4A-2B+n=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4A-2B=0\\4A+1=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ -2B=-1\\
B=\frac{1}{2}\\
\\
A=\frac{1}{4}}\)
Rozw szczególnym jest ciąg:
\(\displaystyle{ a_n^{ \left( 2 \right) }=n \left( \frac{1}{4}n+\frac{1}{2} \right)}\)

3. Rozwiązaniem ogólnym rekurencji jest:
\(\displaystyle{ a_n=a_n^{ \left( 1 \right) }+ a_n^{ \left( 2 \right) }=C_1+C_2 \cdot \left( -1 \right) ^n+n \left( \frac{1}{4}n+\frac{1}{2} \right)}\)

4. Wyznaczamy \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\) z warunków początkowych:
\(\displaystyle{ a_0=C_1+C_2=1\\
a_2=C_1-C_2+\frac{3}{4}=2\\
C_1=1-C_2\\
1-C2-C_2+\frac{3}{4}=2\\
-2C_2=\frac{1}{4}/: \left( -2 \right) \\
C_2=-\frac{1}{8}\\
\\
C_1=\frac{9}{8}}\)

Rozwiązaniem rekurencji jest ciąg
\(\displaystyle{ a_n=\frac{9}{8}+\frac{1}{8} \left( -1 \right) ^n+n \left( \frac{1}{4}n+\frac{1}{2} \right)}\)

nie wiem czy wszystko dobrze zapisałem, ale tak naprawde nie rozumiem tego od samego początku już czyli jak z:
\(\displaystyle{ a_n=a_{n-2}+n}\)
zrobił
\(\displaystyle{ x^n=x^{n-2}}\)
to te +n jest nieważne? To akurat można zapamiętać po prostu, ale dlaczego tak? Pierwszy punkt jeszcze bym zrobił, już w drugim nie wiem kompletnie jak to powstaje, skąd się to wyznacza:
\(\displaystyle{ a_n^{ \left( 2 \right) }=n \left( A_n+B \right)}\)

Niestety nie mogło mnie być na pierwszych najważniejszych ćwiczeniach gdy to było tłumaczone i teraz jest kłopot.
Mógłby ktoś tak krok po kroku do każdej linijki dać swój komentarz co i jak powstaje? pod jaki wzór to się podstawia, skąd te C się bierze?

[miodzio1988]

Rozwiązanie jednorodne czyli wszystko bez wyrazu ogólnego zostawiamy, czyli zostanie nam

\(\displaystyle{ a_n=a_{n-2}}\)

Teraz zapisujemy, że to jako \(\displaystyle{ x}\) do takiej potęgi jaki masz indeks dolny

Czekamy na dalsze konkretne pytania

[wassabi]

Dzięki to wyżej tera jasne dlaczego tak
Ogólnie to tak jak pisałem, z całym zadaniem mam kłopot.
Nie wiem skąd się to wzieło w rozwiazaniu szczególnym:
\(\displaystyle{ a_n^{(2)}=n(A_n+B)}\)

----------------
np. w innym przykładzie
\(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+n^2\\
a_0=0}\)
Rozwiazanie szczególne jest zapisane
\(\displaystyle{ a^{(2)}_n=n(A_n^2+B_n+C)}\)
idąc dalej:
\(\displaystyle{ n(An^2+Bn+c)=(n-2)(A(n-1)^2+B(n-1)+C)+n^2\\
n^3 : A=A\\
n^2 : B=-3A+B+1=>A=\frac{1}{3}\\
n : C=3A-2B+C=>B=\frac{1}{2}\\
1 : 0=-A+B-C=>C=\frac{1}{6}\\}\)
Rozwiązaniem szczególnym jest:
\(\displaystyle{ a_n^{(2)}=n*\frac{1}{3}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6})}\)
----------------
Tutaj konkretnie nie rozumiem skąd się wziął ten wzór Potem skąd \(\displaystyle{ n^3 : A=A}\) itd.. skąd to A=A? itd? co się podstawia do tego wzoru zeby wyliczyć to A? B, C i 0?

czym to się różni i kiedy jest AB, kiedy ABC

i jak już mam to ułożone to pod lewą część podstawiam \(\displaystyle{ n(A_n+B)=(n-2)(A(n-2)+B)+n}\), ale skąd -2 ? to podstawiam te \(\displaystyle{ a_1}\)? a gdzies \(\displaystyle{ a_0}\) podstawiam?? czy zle mysle i to (n-2) stąd się wzieło? \(\displaystyle{ a_n=a_{n-2}+n}\)

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ a_n^{(2)}=n(A n+B)}\)

Skoro w całym równaniu miałeś \(\displaystyle{ n}\) to rozwiązanie szczegolne przewidujesz w postaci liniowej. Jeżeli masz \(\displaystyle{ n^2}\) to w kwadratowej postaci przewidujesz itd

[Mariusz M]

Ja tego sposobu nie lubię bo za dużo jest zgadywania

1. Co z wielokrotnymi pierwiastkami równania ?
2. Przewidywanie rozwiązania szczególnego to też zgadywanie

3. Co jeśli współczynniki nie będą stałe
albo będziemy mieli równanie na liczby Catalana , Bernoullego, Bella itp

[wassabi]

@miodzio
Dzięki, to jasne tera : D Małymi krokami, ale do przodu
a na dalszą część pytania co podstawiam do tego rownania (zacznijmy od tego prostszego) liniowego?

"i jak już mam to ułożone to pod lewą część podstawiam \(\displaystyle{ n(A_n+B)=(n-2)(A(n-2)+B)+n}\), ale skąd -2 ? to podstawiam te \(\displaystyle{ a_1}\)? a gdzies \(\displaystyle{ a_0}\) podstawiam?? czy zle mysle i to (n-2) stąd się wzieło? \(\displaystyle{ a_n=a_{n-2}+n}\) " Tak czy inaczej, ten etap z liniowym myślę, że już sobie jakoś poradzę

No i nie wiem jak powstało - skąd się wzieło to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) przy wyznaczaniu punkcie 4. Wyznaczamy C1 i C2 z warunków początkowych:

\(\displaystyle{ a_0=C_1+C_2=1\\
a_2=C_1-C_2+\frac{3}{4}=2}\)

[miodzio1988]

Skoro \(\displaystyle{ a_n^{(2)}=n(A n+B)}\)

to \(\displaystyle{ a_{n-2}}\) będzie tym samym tylko za \(\displaystyle{ n}\) dajemy \(\displaystyle{ n-2}\)

[wassabi]

No, tak, ale dlaczego akurat \(\displaystyle{ a_{n-2}}\) bo tak we wzorze jest \(\displaystyle{ a_n=a_{n-2}+n}\)
? stąd te n-2?

[miodzio1988]

No taka masz rekurencje więc musi być dwa

To tak jakbyś się pytał dlaczego w równaniu \(\displaystyle{ x+y=6}\) miał \(\displaystyle{ 6}\). Taka jest treść zadania

[wassabi]

Haha, dobre No i o to mi chodziło, czyli stąd to biorę Dzięks. To teraz jeszcze ten ostatni punkt mam kłopot.
Tak jak pisałem wyżej
" Skąd się wzieło to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) przy wyznaczaniu punkcie 4. Wyznaczamy C1 i C2 z warunków początkowych:

\(\displaystyle{ a_0=C_1+C_2=1\\
a_2=C_1-C_2+\frac{3}{4}=2}\) "

-- 17 maja 2016, o 20:50 --

Haha, dobre No i o to mi chodziło, czyli stąd to biorę Dzięks. To teraz jeszcze ten ostatni punkt mam kłopot.
Tak jak pisałem wyżej
" Skąd się wzieło to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) przy wyznaczaniu punkcie 4. Wyznaczamy C1 i C2 z warunków początkowych:

\(\displaystyle{ a_0=C_1+C_2=1\\
a_2=C_1-C_2+\frac{3}{4}=2}\) "

Przez nieuwagę przepisałem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) zamiast \(\displaystyle{ {1}}\) i \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) stąd te pytanie, i w żaden sposób nie mogłem otrzymać takiego wyniku.

-- 19 maja 2016, o 20:14 --

1. Dlaczego w tym przypadku rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest: \(\displaystyle{ a_n^{ \left( 1 \right) } = C_1+C_2 \cdot \left( -1 \right) ^n}\)

Schemat - rozwiązanie jakie mam zapisane do tego zadania - z ćwiczeń.
1. Rozwiązujemy równanie jednorodne
\(\displaystyle{ a^{ \left( 1 \right) }_n-a^{ \left( 1 \right) }_{n-2}\\
x^n=x^{n-2}/:x^{n-2}\\
\frac{x^n}{ x^{n-2}}=\frac{x^n-2}{ x^{n-2}}\\
x^2=1\\
x^2-1=0\\
x_1=1 \wedge x_2 = -1}\)
Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ a_n^{ \left( 1 \right) } = C_1+C_2 \cdot \left( -1 \right) ^n}\)

a w przypadku innej rekurencji np.
\(\displaystyle{ a+n=2a_{n-1}-n+1
a_0=3
x^1=2
x-2=0}\)
Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ a_n^(1)=C_1 \cdot 2^n}\)
To jest kwestia tego ze tam są dwa pierwiastki równania a tu jeden? i dlaczego tam wzieliśmy pierwiastek minus jeden do wzoru zamiast jeden?

2. mógłby ktoś bardziej rozpisać ten inny przykład:
----------------
\(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}+n^2\\
a_0=0}\)
Rozwiazanie szczególne jest zapisane
\(\displaystyle{ a^{(2)}_n=n(A_n^2+B_n+C)}\)
idąc dalej:
\(\displaystyle{ n(An^2+Bn+c)=(n-2)(A(n-1)^2+B(n-1)+C)+n^2\\
n^3 : A=A\\
n^2 : B=-3A+B+1=>A=\frac{1}{3}\\
n : C=3A-2B+C=>B=\frac{1}{2}\\
1 : 0=-A+B-C=>C=\frac{1}{6}\\}\)
Rozwiązaniem szczególnym jest:
\(\displaystyle{ a_n^{(2)}=n \cdot \frac{1}{3}n^2+\frac{1}{2}n+\frac{1}{6})}\)
----------------
Tutaj konkretnie nie rozumiem skąd \(\displaystyle{ n^3 : A=A}\) itd.. skąd to A=A? itd? co się podstawia do tego wzoru zeby wyliczyć to A? B, C i 0? Bo z tymi wczesniejszymi w postaci liniowej to już jasne.