Rozwiązanie równania rekurencyjnego (funkcja tworzących)

[yaroslav1006]

Witam! Mam takie równanie:
\(\displaystyle{ a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=3^{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{0}=a_{1}=1}\)
Potrzebuję rozwiązanie wyłącznie metodą funkcji tworzących. Już przez 3 dni próbuję rozwiązać te równanie. Szukałem podobne przykłady, ale nie mogę znaleźć co mam robić z tym \(\displaystyle{ 3^{n}}\). I mam problem z indeksami {n+2} i {n+1}, bo wszędzie widzę przykłady z {n-2} i {n-1}. Prosiłbym o rozwiązaniu z szczegółami. Z góry dziękuję.
P.S. Przepraszam za błędy gramatyczne (polski nie jest moim językiem ojczystym).

[Premislav]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n+2}x^{n}-2 \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n+1}x^{n}+ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty } 3^{n}x^{n}\\
\frac{1}{x^{2}} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}- \frac{2}{x} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}+ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty }(3x)^{n}}\)
Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-a_{1}x-a_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-a_{0}}\)
Zatem innymi słowy mamy
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{x^{2}}- \frac{2}{x}+1 \right) \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}= \frac{a_{1}}{x}+ \frac{a_{0}}{x^{2}}- \frac{2a_{0}}{x}+ \frac{1}{1-3x}}\)
- skorzystałem już po prawej ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego i przeniosłem te śmieci na drugą stronę.
Wstawiamy \(\displaystyle{ a_{0}=a_{1}=1}\) i dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}- \frac{2}{x}+1}\), co daje
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}= \frac{ \frac{1}{x^{2}}- \frac{1}{x}+ \frac{1}{1-3x} }{\frac{1}{x^{2}}- \frac{2}{x}+1}= \frac{1-x+ \frac{x^{2}}{1-3x} }{(x-1)^{2}}= \frac{(1-x)(1-3x)+x^{2}}{(x-1)^{2}(1-3x)}}\)
Rozłóż to na ułamki proste i rozwiń w szeregi, korzystając ze wzorów na sumę szeregu geometrycznego i pochodną szeregu geometrycznego \(\displaystyle{ \sum_{}^{} x^{n}}\), nie che mi się już tego klepać (no układ równań tworzysz, to jest materiał z pierwszej/ewentualnie drugiej klasy liceum, tylko że mądrzej wygląda, ale to pozory).
Wynik tego rozkładu:
\(\displaystyle{ \frac{(1-x)(1-3x)+x^{2}}{(x-1)^{2}(1-3x)}= \frac{1}{1-x}+ \frac{-\frac 1 2x-\frac 1 2}{(x-1)^{2}}+ \frac{\frac 1 2}{1-3x}}\)

BTW dobrze, że napisałeś tę uwagę, bo już szykowałem gramatyczną erratę.

-- 10 maja 2016, o 15:50 --

Aha, wzorek z tego wychodzi
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{2}-n+ \frac{1}{2}\cdot 3^{n}}\)
- po rozwinięciu w szereki (:D) po prostu otrzymujesz, że \(\displaystyle{ a_{n}}\) to jest to, co stoi przy \(\displaystyle{ x^{n}}\).

[yaroslav1006]

Zatem innymi słowy mamy
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{x^{2}}- \frac{2}{x}+1 \right) \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}= \frac{a_{1}}{x}+ \frac{a_{0}}{x^{2}}- \frac{2a_{0}}{x}+ \frac{1}{1-3x}}\)
- skorzystałem już po prawej ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego i przeniosłem te śmieci na drugą stronę.
---
nie widzę tutaj wzoru na sumę szeregu geometrycznego

[Premislav]

Było
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}- \frac{2}{x} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}+ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}=\\=\left( \frac{1}{x^{2}}- \frac{2}{x}+1 \right) \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}- \frac{a_{1}}{x} - \frac{a_{0}}{x^{2}} + \frac{2a_{0}}{x}= \sum_{n=0}^{ \infty } (3x)^{n}}\)
no i skorzystałem ze wspomnianego wzoru:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } (3x)^{n}= \frac{1}{1-3x}}\)
a następnie przeniosłem na drugą stronę
\(\displaystyle{ - \frac{a_{1}}{x} - \frac{a_{0}}{x^{2}} + \frac{2a_{0}}{x}}\),
zmieniając oczywiście znaki.

[yaroslav1006]

Z pierwszej sumy zostało \(\displaystyle{ -a_{1}x-a_{0}}}\), z drugiej \(\displaystyle{ -a_{0}}\).
Nie mogę zrozumieć skąd to się wzięło
\(\displaystyle{ - \frac{a_{1}}{x} - \frac{a_{0}}{x^{2}} + \frac{2a_{0}}{x}}\).

[Premislav]

Pierwsza linijka:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n+2}x^{n}-2 \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n+1}x^{n}+ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty } 3^{n}x^{n}}\)
Druga linijka:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}- \frac{2}{x} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}+ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty }(3x)^{n}}\)

A tu widzisz co się stało? Chcę wydobyć "w czystej postaci" \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}}\) z tych wszystkich szeregów potęgowych, zatem żeby indeksy zgadzały się z wykładnikami iksów, dokonuję przekształceń w stylu
\(\displaystyle{ x^{n}= \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{n+2}}\) przy \(\displaystyle{ a_{n+2}}\). Jeżeli zrozumiesz to i zrozumiesz, czemu
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-a_{1}x-a_{0}}\)
oraz czemu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n+1}= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-a_{0}}\) (po prostu jeśli indeksy są przesunięte o dwa do przodu w stosunku do \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n}x^{n}}\), to brakuje dwóch początkowych wyrazów i analogicznie brakuje jednego wyrazu w tym \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_{n+1}x^{n+1}}\)), no to z takimi rzeczami, jak szkolne działania w nawiasach powinieneś sobie poradzić.
Tłumaczenie na poziomie podstawówki: skoro \(\displaystyle{ b=c-d}\), to \(\displaystyle{ a\cdot b =a\cdot c-a\cdot d}\), a nie \(\displaystyle{ a\cdot c-d}\). Tutaj po prostu
\(\displaystyle{ a= \frac{1}{x^{2}},b= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+2}x^{n+2}, c= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}, , d=a_{1}x+a_{0}}\). Dalej podobnie z
\(\displaystyle{ - 2\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+1}x^{n}= {\red - \frac{2}{x} } \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n+1}x^{n+1}=- \frac{2}{x}\left( -a_{0}+ \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n} \right)}\)

[kropka+]

Aha, wzorek z tego wychodzi
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{2}-n+ \frac{1}{2}\cdot 3^{n}}\)

Nie zgadza się ze wzorem rekurencyjnym. Sprawdzam dla \(\displaystyle{ a _{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{0+2}-2a_{0+1}+a_{0}=3^{0}\\
a _{2}-2+1=1 \Rightarrow a _{2}=2}\)

Według Twojego wzoru:
\(\displaystyle{ a _{2}= \frac{1}{2} - 2+ \frac{1}{2} \cdot 3 ^{2}=- \frac{3}{2} + \frac{9}{2} =3}\)

[dec1]

Powinno być \(\displaystyle{ a_n=\frac{3}{4}-\frac{2n}{4}+\frac{3^n}{4}}\),

nie \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2}-\frac{2n}{2}+\frac{3^n}{2}}\)

[Premislav]

No tak, nie umiem rozwiązywać układów równań (a dokładniej to dzielić przez dwa).

Powinno być

\(\displaystyle{ \frac{(1-x)(1-3x)+x^{2}}{(x-1)^{2}(1-3x)}= \frac{1}{1-x}+ \frac{-\frac 1 4x-\frac 1 4}{(x-1)^{2}}+ \frac{\frac 1 4}{1-3x}=\\= \sum_{n=0}^{ \infty } x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty } -\frac 1 4 n x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty } -\frac 1 4(n+1)x^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{4}3^{n}x^{n}}\)
i faktycznie z tego wychodzi
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{3}{4}- \frac{n}{2} + \frac{3^{n}}{4}}\)

Dziękuję za korektę.