Operator różnicowy

[timus221]

Wyznaczyc:
\(\displaystyle{ \Delta(n ^{2}+n+1) = ((n+1) ^{2}+(n+1)+1)-(n ^{2}+n+1)
=n ^{2}+2n+1+n+1+1-n ^{2}-n-1
=2n+2}\)

Czy można to rozwiązac w ten sposób i czy to juz koniec czy nalezy jeszcze liczyć \(\displaystyle{ \sum_{}^{}}\)?

Z góry dziękuje za pomoc

[szw1710]

Zadanie rozwiązałeś poprawnie.

[timus221]

Dziękuje

a w jaki sposób policzyć to ?
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{n} (n ^{2}+n+1)}\)

[Premislav]

Czy na pewno indeksowanie tak miało wyglądać? Wątpię.

[timus221]

może bez tych indeksów

[szw1710]

Wtedy to nic nie znaczy.

[timus221]

więc \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (k ^{2}+k+1)}\)

[szw1710]

Teraz dobrze. Możesz zastosować metodę repertuarową: przyjmij, że ta suma ma postać wielomianu trzeciego stopnia zmiennej \(\displaystyle{ n}\). Znajdź jego współczynniki.

[timus221]

a można jakoś zaburzania sum lub przez czesci ? bo niestety nie znam takiej metody jak podajesz

[a4karo]

Albo tak: \(\displaystyle{ (k^2+k)x^{k-1}+1=\left(x^{k+1}\right)''+1}\)

[Premislav]

Jak najbardziej mozna to zrobić metodą zaburzania. Rozbij ją na trzy sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (k ^{2}+k+1)= \sum_{k=0}^{n}k^{2}+ \sum_{k=0}^{n}k+ \sum_{k=0}^{n} 1}\)
Oczywiście ostatnia suma to \(\displaystyle{ n+1}\), środkowa to suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, a żeby policzyć
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k^{2}=\sum_{k=1}^{n} k^{2}}\), możesz spróbować zaburzyć \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{3}}\):
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=1+ \sum_{k=2}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=1+ \sum_{k=1}^{n}(k+1)^{3}}\) etc.

Jeśli sobie z tym nie poradzisz, to zajrzyj tutaj:
258562.htm#p4755327

[Qń]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (k ^{2}+k+1)}\)

Wskazówka:
\(\displaystyle{ k^2+k+1=k^{\underline{2}}+2k^{\underline{1}}+k^{\underline{0}}}\)

I dalej łatwo, wystarczy tabelka z 258511.htm

Q.

[timus221]

\(\displaystyle{ k^2+k+1=k^{\underline{2}}+2k^{\underline{1}}+k^{\underline{0}}}\)

O dziękuję, to mi pomoglo i rozwiązałem tylko nie do konca wiem skad to sie bierze \(\displaystyle{ k^{\underline{2}}+2k^{\underline{1}}+k^{\underline{0}}}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ k^2+k+1 = k(k-1) +2k +1 = k^{\underline{2}}+2k^{\underline{1}}+k^{\underline{0}}}\)

A w ogólności przydaje się ostatnia uwaga w linkowanym poprzednio wątku.

Q.