Funkcje tworzące. Nowy wzor na spr. do wsp. minowanika ?

[CamiSzu]

Witam! Proszę o wyjaśnienie skąd się wzięła ota ta postać licznika \(\displaystyle{ z+1-z-(1-z)}\) tj. jaki wzór z czym on jest związany, z podziałem przy całkowaniu (nie mieliśmy) tzn. czy takie doprowadzenie licznika upraszcza dalszy podział na ułamki proste? Proszę wtedy patrzeć od prawej do lewej , odwróciłem kolejność aby nikt mi tutaj oczywistości nie wypisywał jak w poprzednim poście. Jeżeli tak, to według jakiej reguły się to rozpisuje ?
Z góry dziękuje !

\(\displaystyle{ \frac{1}{ (1-z)^{2} } - \frac{1}{1-z} \Leftrightarrow \frac{z+1-z-(1-z)}{ (1-z)^{2} } \Rightarrow \frac{z}{ (1-z)^{2} }}\)

Ex2.
\(\displaystyle{ \frac{2}{ (1-z)^{3} }- \frac{2}{ (1-z)^{2} } \Leftrightarrow \frac{2z+2(1-z)-2(1-z)}{ (1-z)^{3} } \Rightarrow \frac{2z}{ (1-z)^{3} }}\)-- 10 maja 2016, o 23:53 --Dla przyszłych pokoleń:
\(\displaystyle{ \frac{2z}{ (1-z)^{3} }+ \frac{2(1-z)}{ (1-z)^{3} }+ \frac{-2(1-z)}{ (1-z)^{3} } \Rightarrow \frac{2z+2(1-z)}{ (1-z)^{3} } - \frac{2}{ (1-z)^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow \frac{2z+2-2z}{ (1-z)^{3} } - \frac{2}{ (1-z)^{2} }}\)
Czyli mnożymy przez 2-jke pozostałe dwa wyrażenia aby pozbyć się pierwszego tj. 2z jakbyśmy wzięli samo 1-z wtedy 2z nie skróciłoby się oraz wykorzystujemy odejmowanie od siebie (1-z) w liczniku aby skrócił się z mianownikiem co w rezultacie otrzymujemy samą stałą w liczniku.

Ps. Jak to możliwe że prof. który samemu to napisał samemu się nie przyznaje że to jego dzieło ?

[Piotrekkk]

Spójrz na to inaczej:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} = \frac{1-x}{x^2}}\)
A dalej indukcyjnie
\(\displaystyle{ \frac{n}{x^{n+1}} - \frac{n}{x^n}= \frac{n(1-x)}{x^{n+1}}}\)
Teraz podstawiając za \(\displaystyle{ x}\) wyrażenie \(\displaystyle{ 1-z}\), masz ogólny wzór.