Funkcje tworzące ciągów

[ostry4444]

Znaleźć funkcje tworzące ciągów:
a) \(\displaystyle{ a_{n} = n^{2} +2}\)
b)
\(\displaystyle{ A _{n} = \begin{cases} 0 \hspace{1.5cm} n=0,1\\ a_{n-2} \hspace{1cm} n>1 \end{cases}}\)

c) \(\displaystyle{ a_{n}= n^{k} \hspace{0.5cm} n=0,1,2,...}\)
d) \(\displaystyle{ A _{n}= a _{n+1} \hspace{0.5cm} n=0,1,2...}\)

Proszę o pomoc w rozwiązaniu. Dziękuję za wszelkie odpowiedzi.

[Premislav]

a)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }(n^{2}+2)x^{n}= \sum_{n=0}^{ \infty } n^{2}x^{n}+2 \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n}= \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)x^{n}+ \sum_{n=1}^{ \infty }nx^{n}+2 \sum_{n=0}^{ \infty } x^{n}= \\=\frac{2x^{2}}{(1-x)^{3}}+ \frac{x}{(1-x)^{2}}+ \frac{2}{1-x}}\)

-- 6 maja 2016, o 22:20 --

b) no raczej, że stale równa zero...
c) niech \(\displaystyle{ G_{(k)}(x)=\sum_{n=0}^{ \infty } n^{k}x^{n}}\)
Zauważmy, że wówczas \(\displaystyle{ G_{(0)}(x)= \frac{1}{1-x}}\) oraz \(\displaystyle{ G_{(k+1)}(x)=xG_{(k)}'(x)}\). Stąd łatwo wydusić wzór \(\displaystyle{ G_{(k)}(x)= \frac{k!x^{k}}{(1-x)^{k+1}}}\)

[a4karo]

b) jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}\) to czym jest funkcja \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty A_nx^n}\) ?