Rozwiąż równanie rekurencyjne

darved · Post autor: **darved** » 4 maja 2016, o 19:48

Witam , proszę o pomoc w rozwiązaniu równania rekurencyjnego (jak w ogóle to się robi , co ma być wynikiem , podobne przykłady , cokolwiek bo nic nie wiem )

\(\displaystyle{ f(n) = \begin{cases} 1, &\mbox{gdy }n=1 \\ 2 + f(n-1) , &\mbox{gdy }n>1 \end {cases}}\)

[ciach]

Pozdrawiam

Premislav · Post autor: **Premislav** » 4 maja 2016, o 19:57

To powinieneś wiedzieć z jakiegoś wykładu. Rozwiązaniem będzie ciąg \(\displaystyle{ (f(n))}\) spełniający tę zależność rekurencyjną, a właściwie jego jawny wzór uzależniony od \(\displaystyle{ n}\) (tj. znajdujemy wzór zwarty na podstawie tego wzoru rekurencyjnego).

Mamy zatem dla \(\displaystyle{ n>1}\):
\(\displaystyle{ f(n)=f(n-1)+2\\f(n+1)=f(n)+2=(f(n-1)+2)+2}\)
i tak dalej. Dostrzegasz pewną zależność?
Różnica \(\displaystyle{ f(n+1)-f(n)}\) jest stała, więc jest to ciąg arytmetyczny.
Masz pierwszy wyraz: \(\displaystyle{ 1}\) i różnicę: \(\displaystyle{ 2}\). Czego chcieć więcej?
Znasz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?

darved · Post autor: **darved** » 4 maja 2016, o 21:42

\(\displaystyle{ a_{n}= a_{1}+(n-1) \cdot r}\)
czyli:
\(\displaystyle{ a_{n}= 1 + (n-1) \cdot 2 \\
a_{n}= 1 + (n-1) \cdot 2 \\
a_{n}= 2n - 1}\)

Czy to jest ten "jego jawny wzór uzależniony od \(\displaystyle{ n}\)" będący rozwiązaniem zadania ? (wybaczcie za głupie pytania ale moja wiedza jest zerowa z tego działu )

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 4 maja 2016, o 22:02

darved pisze:\(\displaystyle{ a_{n}= 2n - 1}\)

\(\displaystyle{ f(n)=2n-1}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 4 maja 2016, o 22:12

\(\displaystyle{ F\left( x\right)=\sum_{n=1}^{ \infty }{f_{n}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{f_{n}x^{n}}=\sum_{n=2}^{ \infty }{f_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=2}^{ \infty }{2x^{n}}\\}\)

Możesz też skorzystać z pomysłu z wątku
229848.htm#p856394

darved · Post autor: **darved** » 4 maja 2016, o 22:58

Czyli \(\displaystyle{ f(n)=2n-1}\) jest jakby rozwiązaniem tego zadania , a to co podaje @mariuszm jest alternatywną metodą rozwiązywania tego zadania czy jakby kontynuacją obliczeń po wyliczeniu \(\displaystyle{ f(n)}\) ?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 4 maja 2016, o 23:05

Tak to co podałem to jest metodą rozwiązywania takich równań
a dokładniej podałem funkcję tworzącą i odnosnik do czynnika sumacyjnego

darved · Post autor: **darved** » 5 maja 2016, o 00:26

Okej czyli rozumiem , że jest to alternatywna metoda (przy pytaniu A czy B ? odpowiedziałeś: tak co jest dosyć mylące ) Jeżeli \(\displaystyle{ f(n)}\) można uznać za rozwiązanie tego zadania to dziękuje za pomoc , jeżeli nie to nadal będę jej potrzebował

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 5 maja 2016, o 01:44

Można uznać , a metoda ni się może przydać do innych równań