Ile jest wszystkich liczb sześciocyfrowych, w zapisie...

Artut97 · Post autor: **Artut97** » 1 maja 2016, o 22:41

Ile jest wszystkich liczb sześciocyfrowych, w zapisie których występują dokładnie trzy dziewiątki?

Jak to ugryźć?:)

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 1 maja 2016, o 23:21

z 6 miejsc wybierz trzy na dziewiątki, potem resztę zapełnij innymi

dec1 · Post autor: **dec1** » 1 maja 2016, o 23:28

Pamiętaj, że na początku nie możesz mieć zera, bo wtedy liczba nie będzie sześciocyfrowa

Artut97 · Post autor: **Artut97** » 2 maja 2016, o 08:45

A jak mam takie coś:

"9" jest na pierwszym miejscu.

\(\displaystyle{ \binom{5}{2} \cdot \binom{9}{1} \cdot \binom{9}{1} \cdot \binom{9}{1}}\)

Jak teraz użyć permutacji by załatwić wszystkie możliwe ustawienia?

macikiw2 · Post autor: **macikiw2** » 2 maja 2016, o 10:01

Masz jeden przypadek gdy "9" jest na pierwszym miejscu.
Polecam nie używać kombinacji dla zapisu
\(\displaystyle{ {9 \choose 1}{9 \choose 1}{9 \choose 1}}\)
Bo to:
\(\displaystyle{ 9 ^{3}}\)
Czyli wariacja z powtórzeniami.

I to są wszystkie możliwe ustawienia. Na pierwszym miejscu jest liczba "9", potem wybrałeś 2 miejsca dla "9" dla pozostałych 5 miejsc, a na pozostałych miejscach rozlosowałeś wszystkie liczby które "9" nie są.
Po co jeszcze dodatkowa permutacja?

Teraz rozpatrz przypadek w którym "9" nie ma na początku pamiętając o tym że pierwszym miejscu nie może być też zero.

Czyli \(\displaystyle{ 8* {5 \choose 3}*9 ^{2}}\)

I zsumuj.

Artut97 · Post autor: **Artut97** » 2 maja 2016, o 10:39

A to nie jest tak, że tą kombinacją wybiorę np. drugie i czwarte miejsce (\(\displaystyle{ 993916}\)). I powstaną tylko te liczby sześciocyfrowe, które mają na pierwszym, drugim i czwartym miejscu "9" a na reszcie miejsc obojętnie byle nie "9"? I dlatego myślałem, że trzeba jakoś użyć permutacji. Jak to jest?

dec1 · Post autor: **dec1** » 2 maja 2016, o 10:57

Przypadek pierwszy - \(\displaystyle{ 9}\) jest na początku:
\(\displaystyle{ \binom{5}{2}\binom{9}{1}^3=7290}\)

Przypadek drugi - \(\displaystyle{ 9}\) nie jest na początku:
\(\displaystyle{ \binom{5}{3}\binom{9}{1}^2\binom{8}{1}=6480}\)

Sumujemy:
\(\displaystyle{ 7290+6480=13770}\)

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 2 maja 2016, o 11:07

Żeby to sobie uzmysłowić rozwiążmy takie zadanie. Ile liczb dwucyfrowych można ułożyć z cyfr \(\displaystyle{ 1,2}\)?
Rozwiązanie:
Na pierwszym miejscu dowolna z dwóch cyfr. Na drugim też dowolna, czyli odpowiedź to \(\displaystyle{ 2 ^{2}}\)
Sprawdzam: \(\displaystyle{ 11,12,21,22}\) - zgadza się. Jak widać jest tu już uwzględniona permutacja.

macikiw2 · Post autor: **macikiw2** » 2 maja 2016, o 11:19

Artut97 pisze:A to nie jest tak, że tą kombinacją wybiorę np. drugie i czwarte miejsce (\(\displaystyle{ 993916}\)). I powstaną tylko te liczby sześciocyfrowe, które mają na pierwszym, drugim i czwartym miejscu "9" a na reszcie miejsc obojętnie byle nie "9"? I dlatego myślałem, że trzeba jakoś użyć permutacji. Jak to jest?

Kombinacją \(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) wybierasz dwa dowolne miejsca(z 5 pozostałych) dla danej liczby. Może być to miejsca drugie i czwarte, ale może być też drugie i trzecie. Po prostu tym zapisem uwzględniasz wszystkie możliwości.

Artut97 · Post autor: **Artut97** » 2 maja 2016, o 11:29

No ta, w strasznie w głupi sposób interpretowałem kombinację. Dzięki wszystkim.