Kule i puste szufladki

[michals95]

Niech \(\displaystyle{ n, m \in N}\) a \(\displaystyle{ 0 \le r < m.}\) Zbadać, ile jest rozmieszczeń \(\displaystyle{ n}\) rozróżnialnych kul w \(\displaystyle{ m}\) rozróżnialnych szufladkach, przy których co najmniej \(\displaystyle{ r}\) szufladek pozostaje pustych.
Zadanie jest oparte o zasadę włączeń i wyłączeń, a prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ \sum_{k=r}^{m} (-1) ^{k-r} {k \choose r }{m \choose k} (m-k)^{n}}\). Próbowałem rozwiązać to zadanie, ale nie mam pojęcia, skąd bierze się wybór \(\displaystyle{ {k \choose r }}\).

[arek1357]

Najpierw wybierasz r pustych szufladek na:

\(\displaystyle{ {m \choose r}}\) sposobów a w pozostałe szuflady robisz suriekcje:

\(\displaystyle{ S(n,m-r)}\)

[michals95]

W związku z tym, czy fragment w sumie \(\displaystyle{ k \choose r}\) odpowiada wyborowi pustych szufladek pustych dla kolejnych składników sumy? Mam wrażanie, że interpretując cały ten ostateczny wzór, puste szufladki wybieramy dwa razy

[arek1357]

Tak bo u ciebie jest co najmniej a więc puste szyfladki musisz wybierać odr do n-1.