Dowód tożsamości

[Limes_Superior]

\(\displaystyle{ (1+t)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} t^{k}}\)

Dowód ma zostać przeprowadzony algebraicznie oraz "kombinatorycznie". Ma ktoś jakieś pomysły, wskazówki?

[dec1]

Indukcją możesz tego dowieść

Edit: no chyba, że chodzi o to, że bez indukcji, wtedy rozwiń lewą stronę w szereg Maclaurina

[Premislav]

Interpretacja kombinatoryczna chyba mogłaby być tylko dla \(\displaystyle{ t \in \NN}\).
Jesteśmy w Chichén Itzá. Wrzucamy \(\displaystyle{ n}\) dzieci do \(\displaystyle{ t}\) studni, żeby bogowie przekazali im wieści o przyszłości - chociaż jeśli się zlitujemy, to możemy też któregoś (albo i wszystkich) nie wrzucać do żadnej studni. Wtedy dla każdego dziecka mamy \(\displaystyle{ t+1}\) stanów: nie wrzucamy, studnia nr 1, ... studnia nr \(\displaystyle{ t}\). Z drugiej strony możemy zrobić tak, że wybieramy \(\displaystyle{ k}\) spośród \(\displaystyle{ n}\)dzieci (\(\displaystyle{ k=0,...n}\)) i na \(\displaystyle{ t^{k}}\) sposobów rozrzucamy do studni, a pozostałych (jeśli takowe są, tj. jeśli \(\displaystyle{ k\neq n}\)) nie wrzucamy.

Generalnie to wynika natychmiast ze wzoru dwumianowego Newtona.

[Lider_M]

Interpretacja może być również dla \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\).

Zapisać \(\displaystyle{ (1+t)^n=(1+t)(1+t)\cdot\ldots\cdot (1+t)}\) i zastanowić się ile będzie składników postaci \(\displaystyle{ t^k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) (z iluś nawiasów musimy wybrać \(\displaystyle{ t}\), a z iluś \(\displaystyle{ 1}\), by otrzymać \(\displaystyle{ t^k}\)).