Trójwyrazowe ciągi

[Milczek]

Ile jest trójwyrazowych ciągów monotonicznych rosnących lub malejących \(\displaystyle{ a,b,c}\) takich że dwa elementy są równe? \(\displaystyle{ a,b,c \in \left\{ 1,2,3,4......,n\right\}}\)

Intuicyjnie mogę zapisać że jest ich \(\displaystyle{ n(n-1)\cdot 2}\), ponieważ dwa elementy stojące obok siebie wybieram na \(\displaystyle{ n}\) sposobów i potem pozostałą liczbę. I razy dwa bo tworzę ciągi rosnące i malejące.

Widziałem odpowiedź \(\displaystyle{ 4\cdot C^2_{n}}\), i zgadza się to z tym co napisałem wyżej, tylko jak to zinterpretować mam aby od razu wpaść na taki pomysł? Wzór jak i to co on oznacza jest dla mnie jasny lecz nie wiem do końca jak od razu miałbym go w tym konkretnym przepadku zapisać.

[kerajs]

\(\displaystyle{ C ^{2} _{n}}\) to wybór pary \(\displaystyle{ \left\{ x,y\right\}}\) z których układasz 4 ciągi:
xxy, xyy, yxx, yyx .

Twój wybór dwóch liczb: \(\displaystyle{ n(n-1)}\) wymusza kolejność wybranych liczb:
do wybranego układu xy dopisujesz brakującą liczbę dostając x(xy), (xy)y lub do wybranego układu yx dopisujesz brakującą dostając y(yx), (yx)x. To jest twoje mnożenie przez 2.
Jak widać wyniki są identyczne.

Zupełnie inną sprawą jest to że te ciągi są nierosnące lub niemalejace, ale nie są rosnące ani nie są malejące.

[Milczek]

Rozumiem, dzięki !

Z pary liczb \(\displaystyle{ \left\{ x,y\right\}}\) tworzę cztery ciągi. To umknęło mojej obserwacji