Symbol Newtona

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
isia93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 18 lut 2015, o 20:42
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 8 razy

Symbol Newtona

Post autor: isia93 »

Wykaż, że \(\displaystyle{ {n\choose k}+}\) \(\displaystyle{ {n\choose k-1}=}\)\(\displaystyle{ {n+1\choose k}}\)
Rozpisałam to za pomocą definicji symbolu Newtona
\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=}\)
Wydaje mi się, że trzeba teraz sprowadzić to do wspólnego mianownika, tylko nie bardzo wiem jak....
Bardzo proszę o pomoc.
Hubbaser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 10 kwie 2016, o 01:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 7 razy

Symbol Newtona

Post autor: Hubbaser »

Można rozpisać, ale lepiej kombinatorycznie:

Musisz wybrać k liczb spośród n.

1. Bierzesz pierwszą i z pozostałych n-1 wybierasz k-1
2. Nie bierzesz jej i z pozostałych n-1 wybierasz k
isia93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 18 lut 2015, o 20:42
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 8 razy

Symbol Newtona

Post autor: isia93 »

Nie widzę tego...
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Symbol Newtona

Post autor: dec1 »

\(\displaystyle{ (n+1)!=n!(n+1)}\)
isia93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 18 lut 2015, o 20:42
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 8 razy

Symbol Newtona

Post autor: isia93 »

Czyli mam rozpisać prawą stronę?
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Symbol Newtona

Post autor: dec1 »

Ewentualnie możesz pomnożyć przez sztuczną jedynkę oba ułamki - pierwszy przez \(\displaystyle{ \frac{(n-k+1)}{(n-k+1)}}\), a drugi przez \(\displaystyle{ \frac{k}{k}}\)
isia93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 18 lut 2015, o 20:42
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 8 razy

Symbol Newtona

Post autor: isia93 »

\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{n!(n-k+1)}{k(k-1)!(n-k)(n-k+1)!} + \frac{n!k}{k(k-1)!(n-k+1)!} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{n!(n-k+1)+n!k(n-k)}{k(k-1)!(n-k)(n-k+1)!}}\)
O to chodzi?
dec1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 714
Rejestracja: 21 mar 2016, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 191 razy

Symbol Newtona

Post autor: dec1 »

Tak, tylko w drugiej linijce w pierwszym ułamku wykrzyknik w złym miejscu (powinno być \(\displaystyle{ \frac{n!(n-k+1)}{k(k-1)!(n-k)!(n-k+1)}}\)).

Teraz \(\displaystyle{ k(k-1)!=k!}\) oraz \(\displaystyle{ (n-k)!(n-k+1)=(n-k+1)!}\) i dalej sama.
isia93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 18 lut 2015, o 20:42
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 8 razy

Symbol Newtona

Post autor: isia93 »

Dziękuje
ODPOWIEDZ