Symbol Newtona
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 18 lut 2015, o 20:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 8 razy
Symbol Newtona
Wykaż, że \(\displaystyle{ {n\choose k}+}\) \(\displaystyle{ {n\choose k-1}=}\)\(\displaystyle{ {n+1\choose k}}\)
Rozpisałam to za pomocą definicji symbolu Newtona
\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=}\)
Wydaje mi się, że trzeba teraz sprowadzić to do wspólnego mianownika, tylko nie bardzo wiem jak....
Bardzo proszę o pomoc.
Rozpisałam to za pomocą definicji symbolu Newtona
\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=}\)
Wydaje mi się, że trzeba teraz sprowadzić to do wspólnego mianownika, tylko nie bardzo wiem jak....
Bardzo proszę o pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 10 kwie 2016, o 01:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
Symbol Newtona
Można rozpisać, ale lepiej kombinatorycznie:
Musisz wybrać k liczb spośród n.
1. Bierzesz pierwszą i z pozostałych n-1 wybierasz k-1
2. Nie bierzesz jej i z pozostałych n-1 wybierasz k
Musisz wybrać k liczb spośród n.
1. Bierzesz pierwszą i z pozostałych n-1 wybierasz k-1
2. Nie bierzesz jej i z pozostałych n-1 wybierasz k
Symbol Newtona
Ewentualnie możesz pomnożyć przez sztuczną jedynkę oba ułamki - pierwszy przez \(\displaystyle{ \frac{(n-k+1)}{(n-k+1)}}\), a drugi przez \(\displaystyle{ \frac{k}{k}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 18 lut 2015, o 20:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 8 razy
Symbol Newtona
\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{n!(n-k+1)}{k(k-1)!(n-k)(n-k+1)!} + \frac{n!k}{k(k-1)!(n-k+1)!} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{n!(n-k+1)+n!k(n-k)}{k(k-1)!(n-k)(n-k+1)!}}\)
O to chodzi?
\(\displaystyle{ = \frac{n!(n-k+1)}{k(k-1)!(n-k)(n-k+1)!} + \frac{n!k}{k(k-1)!(n-k+1)!} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{n!(n-k+1)+n!k(n-k)}{k(k-1)!(n-k)(n-k+1)!}}\)
O to chodzi?
Symbol Newtona
Tak, tylko w drugiej linijce w pierwszym ułamku wykrzyknik w złym miejscu (powinno być \(\displaystyle{ \frac{n!(n-k+1)}{k(k-1)!(n-k)!(n-k+1)}}\)).
Teraz \(\displaystyle{ k(k-1)!=k!}\) oraz \(\displaystyle{ (n-k)!(n-k+1)=(n-k+1)!}\) i dalej sama.
Teraz \(\displaystyle{ k(k-1)!=k!}\) oraz \(\displaystyle{ (n-k)!(n-k+1)=(n-k+1)!}\) i dalej sama.