Co druga liczba Fibonacciego i podstawianie pod x wartości

[Hubbaser]

Chciałbym rozwiązać poniższe zadanie, ale nie wiem jak to zrobić.
Znajdź\(\displaystyle{ \sum_{ \infty }^{n=0} \sum_{n}^{k=0} \frac{ F_{2k} F_{n-k} }{ 10^{n} }}\), gdzie \(\displaystyle{ F_{n}}\) to n-ta liczba Fibonacciego

Widzę, że jest to splot \(\displaystyle{ F_{2n}}\) z \(\displaystyle{ F_{n}}\), ale nie wiem jak wygląda funkcja tworząca \(\displaystyle{ F_{2n}}\).

Czy wystarczy w miejsce \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ F_{n}(x)}\) wstawić \(\displaystyle{ x^{2}}\)?

Czy można podstawić w funkcji tworzącej otrzymanego splotu \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) pod \(\displaystyle{ x}\)? Nie wiem kiedy to jest poprawne, bo podstawiając np. \(\displaystyle{ x=1}\) pod \(\displaystyle{ F_{n}(x)}\) otrzymujemy niewłaściwy wynik.-- 10 kwi 2016, o 13:38 --Dobra, znalazłem funkcję tworzącą parzystych liczb Fibonacciego w innym temacie.
Pozostaje pytanie o zbieżność po podstawieniu wartości pod x.

Nie wiem jak ją wykazać dla tego szeregu.
I czy zbieżność jest równoważna z prawidłowym wynikiem po podstawieniu wartości do funkcji tworzącej.

[kicaj]

Zobacz tu: 405758.htm

[Hubbaser]

O, właśnie w tym temacie znalazłem funkcję tworzącą parzystych liczb Fibonacciego. Nie wiem jednak czy podstawienie 1/10 jest legalne (tzn. pewnie jest, ale nie wiem czemu)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ 10^{n}=10^{k} \cdot 10^{n-k}\\
10^{n}=\left( \sqrt{10} \right)^{2k}\cdot 10^{n-k}\\}\)

Na pierwszy rzut oka nie wiadomo skąd się wzięło to równanie rekurencyjne
(Oczywiście odpowiednie manipulowanie wzorem \(\displaystyle{ f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}}\)
pozwoli je uzyskać ale równanie to jak i funkcję tworzącą można dostać z równania na ciąg Fibonacciego)

\(\displaystyle{ f_{n}=f_{n-1}+f_{n}\qquad f_{0}=0\qquad f_{1}=1\\
F\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{f_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}=\sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n-2}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}=x\sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n-1}x^{n-1}}+x^2\sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n-2}x^{n-2}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}=x\sum_{n=1}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}+x^2\sum_{n=0}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}-x-0=x\left( \sum_{n=0}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}-0\right) +x^2\sum_{n=0}^{ \infty } {f_{n}x^{n}}\\
F\left( x\right)-x=xF\left( x\right) +x^2F\left( x\right)\\
F\left( x\right)=\frac{x}{1-x-x^2}\\
\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{A}{1-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)x }+\frac{B}{1-\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)x } \\
\begin{cases} A+B=0 \\ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)A+\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)B=-1 \end{cases} \\
\begin{cases} B=-A \\ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)A-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)A=-1 \end{cases} \\
\begin{cases} \sqrt{5}A=-1 \\ \sqrt{5}B=1 \end{cases} \\
\frac{x}{1-x-x^2}=- \frac{1}{ \sqrt{5} } \cdot \frac{1}{1-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)x }+ \frac{1}{ \sqrt{5} } \cdot \frac{1}{1-\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)x } \\
\frac{x}{1-x-x^2}=- \frac{1}{ \sqrt{5} } \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \left( \frac{1- \sqrt{5} }{2} \right)^nx^n \right)+\frac{1}{ \sqrt{5} } \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \left( \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)^nx^n \right) \\
f_{n}= \frac{1}{ \sqrt{5} }\left( \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)^{n} -\frac{1}{ \sqrt{5} }\left( \frac{1- \sqrt{5} }{2} \right)^{n} \\
f_{2n}=\frac{1}{ \sqrt{5} }\left( \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)^{2n} -\frac{1}{ \sqrt{5} }\left( \frac{1- \sqrt{5} }{2} \right)^{2n} \\
f_{2n}=\frac{1}{ \sqrt{5} }\left( \frac{\left( 1+ \sqrt{5}\right)^2 }{4} \right)^{n} -\frac{1}{ \sqrt{5} }\left( \frac{\left( 1- \sqrt{5}\right)^2 }{4} \right)^{n} \\
f_{2n}=\frac{1}{ \sqrt{5} }\left( \frac{ 3+ \sqrt{5} }{2} \right)^{n} -\frac{1}{ \sqrt{5} }\left( \frac{ 3- \sqrt{5} }{2} \right)^{n} \\}\)
\(\displaystyle{ A\left(x\right)= \frac{1}{ \sqrt{5} } \cdot \frac{1}{1-\left( \frac{ 3+ \sqrt{5} }{2} \right)x } -
\frac{1}{ \sqrt{5} } \cdot \frac{1}{1-\left( \frac{ 3- \sqrt{5} }{2} \right)x } \\}\)