Ile osób znało jednocześnie angielski i rosyjski, ale nie zn

[kamikami123]

Witam, potrzebuję pilnie pomocy przy rozwiązaniu tego zadania.

Zapytano 16 ludzi o znajomość języków obcych. Okazało się, że:
- 12 znało niemiecki,
- 15 znało angielski,
- język rosyjski znało tyle osób ile znało jednocześnie niemiecki i angielski
- 8 znało jednocześnie niemiecki, oraz rosyjski.
Ile osób znało jednocześnie angielski i rosyjski, ale nie znało niemieckiego?

[piasek101]

Pomocą jest tak zwany diagram Venna.

[kamikami123]

Owszem, starałem się nanieść dane na diagram Venna, lecz to zadanie jest niestety chyba zbyt skomplikowane, aby ten sposób wykorzystać, albo po prostu coś robię źle...

[dec1]

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\tikzset{venn circle/.style={draw,circle,minimum width=6cm,fill=#1,opacity=0.4}}
\node [venn circle = white] (A) at (0,0) {$R$};
\node [venn circle = white] (B) at (60:4cm) {$N$};
\node [venn circle = white] (C) at (0:4cm) {$A$};
\node[left] at (barycentric cs:A=1/2,B=1/2 ) {$NR$};
\node[below] at (barycentric cs:A=1/2,C=1/2 ) {$AR$};
\node[right] at (barycentric cs:B=1/2,C=1/2 ) {$AN$};
\node[below] at (barycentric cs:A=1/3,B=1/3,C=1/3 ){$ANR$};
\end{tikzpicture}}\)

Coś mi nie pokazuje wewnętrznych linii ale trudno.

Z treści zadania wiemy, że:
\(\displaystyle{ A+ANR+AN+AR=15}\)
\(\displaystyle{ R+ANR+NR+AR=ANR+AN}\)
\(\displaystyle{ A+R+AR=16-12=4}\)
\(\displaystyle{ ANR+NR=8}\).

Do drugiej równości dodajemy dwustronnie \(\displaystyle{ A}\) i podstawiamy do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ A+R+ANR+NR+AR+AR=15}\)

Używając trzeciej równości skracamy:
\(\displaystyle{ ANR+NR+AR=11}\)

No i dzięki czwartej równości otrzymujemy:
\(\displaystyle{ AR=3}\)