liczby pięciocyfrowe z różnymi cyframi

[wielkireturner]

Oblicz, ile jest liczb pięciocyfrowych o róznych cyfrach, w których zapisie wystepują dokładnie dwie cyfry parzyste i trzy nieparzyste.
Zastanawiam się, czemu nie mogę zrobić tak, że w obu przypadkach a) pierwsza liczba jest parzysta b) pierwsza liczba jest nieparzysta będę mnożył razy 4 silnia, bo przecież pierwszą z pozostałych czterech liczb mogę rozmieścić na 4 sposoby, drugą z pozostałych liczb na trzy sposoby itd. Poproszę o wyjaśnienie.

[dec1]

Dla parzystej na początku.
Parzystych jest 5: 0,2,4,6,8. Na początku jednak nie może być 0, gdyż przestaje to być liczba pięciocyfrowa. Zatem 4 opcje dla pierwszej cyfry.
Kolejne cztery cyfry to trzy cyfry nieparzyste i jedna parzysta. Jest to dokładnie \(\displaystyle{ {5\choose 3} \cdot 4\cdot 4!}\). Dlaczego? Najpierw wybieramy 3 cyfry nieparzyste z 5, mnożymy razy 4 opcje wyboru parzystej (nie 5, gdyż na początku już jest jedna parzysta) i mnożymy razy 4! gdyż możemy je rozmieścić dowolnie na 4 miejscach. Zatem łącznie, wszystkich liczb pięciocyfrowych z dwiema cyframi parzystymi i trzema nieparzystymi, z parzystą na początku jest \(\displaystyle{ 4\cdot{5 \choose 3}\cdot 4\cdot 4!=3840}\)

Dla nieparzystej na początku
Analogicznie. Nieparzystych jest 5: 1,3,5,7,9. Wybieramy początkową, jest 5 opcji. Następnie wybieramy 2 parzyste, 2 nieparzyste (z 4, bo jedna jest na początku) i rozkładamy je dowolnie. Zatem wszystkich jest \(\displaystyle{ 5\cdot{4\choose 2}\cdot{5\choose 2}\cdot 4!=7200}\)

Łącznie wszystkich jest \(\displaystyle{ 3840+7200=11040}\).