Używając argumentacji kombinatorycznej udowodnić tożsamość (w podanej formie)
\(\displaystyle{ {n \choose k}\red-\black{n-3 \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-2 \choose k-1} + {n-3 \choose k-1}}\)
Jestem w stanie wykonać dowód algebraiczny, ale nie mam pomysłu jak przeprowadzić argumentację kombinatoryczną.
@Edit
Poprawiony znak
Tożsamość - interpretacja kombinatoryczna
-
- Użytkownik
- Posty: 1114
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 157 razy
Tożsamość - interpretacja kombinatoryczna
Coś jest nie tak w tej tożsamości. Np. dla \(\displaystyle{ n = 5}\) i \(\displaystyle{ k = 2}\) lewa strona jest równa \(\displaystyle{ 11}\), a prawa \(\displaystyle{ 9}\).
Tożsamość - interpretacja kombinatoryczna
\(\displaystyle{ L={5 \choose 2}-{5-3 \choose 2}=10-1=9}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Tożsamość - interpretacja kombinatoryczna
Zły znak wpisałeś w oryginalnym poście-- 7 kwi 2016, o 08:30 --Mamy \(\displaystyle{ n-3}\) kul zielonych i trzy kule \(\displaystyle{ a,B,C}\) czerwone.adi3 pisze:\(\displaystyle{ L={5 \choose 2}-{5-3 \choose 2}=10-1=9}\)
Różnica po lewej stronie to ilośc zestawów \(\displaystyle{ k}\)-elementowych, wsród których jest co najmniej jedna kula czerwona.
Te zestawy można policzyć tak: to sa takie, które zawieraja kulę \(\displaystyle{ A}\), oraz takie, które zawierają kulę \(\displaystyle{ B}\), ale nie zawieraja kuli \(\displaystyle{ A}\) oraz takie, które zawieraja kulę \(\displaystyle{ C}\), ale nie zawieraja ani \(\displaystyle{ A}\) ani \(\displaystyle{ B}\)