Tożsamość - interpretacja kombinatoryczna

[adi3]

Używając argumentacji kombinatorycznej udowodnić tożsamość (w podanej formie)

\(\displaystyle{ {n \choose k}\red-\black{n-3 \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-2 \choose k-1} + {n-3 \choose k-1}}\)

Jestem w stanie wykonać dowód algebraiczny, ale nie mam pomysłu jak przeprowadzić argumentację kombinatoryczną.

@Edit
Poprawiony znak

[Mruczek]

Coś jest nie tak w tej tożsamości. Np. dla \(\displaystyle{ n = 5}\) i \(\displaystyle{ k = 2}\) lewa strona jest równa \(\displaystyle{ 11}\), a prawa \(\displaystyle{ 9}\).

[adi3]

\(\displaystyle{ L={5 \choose 2}-{5-3 \choose 2}=10-1=9}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ L={5 \choose 2}-{5-3 \choose 2}=10-1=9}\)

Zły znak wpisałeś w oryginalnym poście-- 7 kwi 2016, o 08:30 --Mamy \(\displaystyle{ n-3}\) kul zielonych i trzy kule \(\displaystyle{ a,B,C}\) czerwone.

Różnica po lewej stronie to ilośc zestawów \(\displaystyle{ k}\)-elementowych, wsród których jest co najmniej jedna kula czerwona.

Te zestawy można policzyć tak: to sa takie, które zawieraja kulę \(\displaystyle{ A}\), oraz takie, które zawierają kulę \(\displaystyle{ B}\), ale nie zawieraja kuli \(\displaystyle{ A}\) oraz takie, które zawieraja kulę \(\displaystyle{ C}\), ale nie zawieraja ani \(\displaystyle{ A}\) ani \(\displaystyle{ B}\)