kule w urnach. zasada włączeń i wyłączeń(?)

[onmyway]

Witam wszystkich, proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania:

Mamy 12 kul. 1 zieloną, 1 niebieską, 1 czerwoną, 1 żółtą, 1 białą i 7 czarnych. Na ile sposobów można umieścić te kule w 4 urnach, tak żeby w każdej urnie była co najmniej jedna kula?

Nie mam pojęcia jak poprawnie rozwiązać to zadanie, domyślam się, że trzeba skorzystać z zasady włączeń i wyłączeń, ale nic więcej nie przychodzi mi do głowy, więc będę wdzięczna za wskazówki

[arek1357]

Zakładam, że urny są rozróżnialne, oraz, że czarne kule między sobą są nierozróżnialne, kule pojedyncze nazwijmy kulami kolorowymi.

najpierw musisz zapełnić wszystkie urny przynajmniej jedną kulą a możesz to zrobić tak:

k - kolorowa, cz - czarna

1. \(\displaystyle{ \left\{ 0k, 4cz\right\}}\) , zostaje - \(\displaystyle{ 5k, 3cz}\)

2. \(\displaystyle{ \left\{ 1k, 3cz\right\}}\) , zostaje - \(\displaystyle{ 4k, 4cz}\)

3. \(\displaystyle{ \left\{ 2k, 2cz\right\}}\) , zostaje - \(\displaystyle{ 3k, 5cz}\)

4. \(\displaystyle{ \left\{ 3k, 1cz\right\}}\) , zostaje - \(\displaystyle{ 2k, 6cz}\)

5. \(\displaystyle{ \left\{ 4k, 0cz\right\}}\) , zostaje - \(\displaystyle{ 1k, 7cz}\)

I teraz to czym musisz zapełniać czyli to z lewej musisz umieszczać suriektywnie a to co z prawej umieszczasz na chybił trafił.

To tak z grubsza , bo masz tu pomieszane kule rozróżnialne i nierozróżnialne.

Przypadek pierwszy:

masz zero kolorowych i umieszczasz wszystkie czarne w czterech urnach co daje jeden sposób,
zostaje pięć kolorowych i trzy czarne

Musisz zastosować tu wariacje z powtórzeniami i kombinacje z powtórzeniami:

\(\displaystyle{ 4^5 \cdot {3+4-1 \choose 3}}\)

Podobnie drugi przypadek:

wybierasz spośród kolorowych jedną i umieszczasz suriektywnie w urnach czterech:
Potem wybierasz te urny w których umieszczasz kolorową a do pozostałych czarne (tu nie ma rozróżnień)

\(\displaystyle{ {5 \choose 1} \cdot {4 \choose 1} \cdot 4^4 \cdot {4+4-1 \choose 4}}\)

ad.3:

\(\displaystyle{ {5 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot 2! \cdot 4^3 \cdot {5+4-1 \choose 5}}\)

Mnożę jeszcze przez dwa silnia bo te kolorowe jeszcze w dwóch wybranych urnach mogę permutować

ad.4:

\(\displaystyle{ {5 \choose 3} \cdot {4 \choose 3} \cdot 3! \cdot 4^2 \cdot {6+4-1 \choose 6}}\)

ad.5:

\(\displaystyle{ {5 \choose 4} \cdot {4 \choose 4} \cdot 4! \cdot 4^1 \cdot {7+4-1 \choose 7}}\)

Teraz te przypadki trzeba zsumować...

[onmyway]

dzięki za odpowiedź! Jednak nie jestem przekonana co do jej poprawności, wydaje mi się, że dużo sytuacji jest liczonych podwójnie, albo nawet większą ilość razy. Np sytuacja w której w pierwszych trzech urnach mamy 1 kulę kolorową i jedną czarną, a w czwartej urnie resztę, jest uwzględniona w każdym z powyższych przypadków. Czy tak nie jest?

[arek1357]

Masz racje mogą się powtarzać dobrze żeś zauważyła.
Ale mam inny pomysł mam nadzieję, że lepszy:

Najpierw umieśćmy kule czarne w jednej urnie:

\(\displaystyle{ {4 \choose 1}}\) sposobów, a kule kolorowe na dwa sposoby:

najpierw w urnach pustych, czyli suriekcje \(\displaystyle{ S(5,3)}\), a potem we wszystkich urnach, czyli:

\(\displaystyle{ S(5,4)}\)

co razem da możliwości:

\(\displaystyle{ {4 \choose 1} \cdot S(5,3)+{4 \choose 1} \cdot S(5,4)}\)

Drugi przypadek wsadzamy kule czarne do dwóch urn i dbamy, żeby żadna urna nie była pusta:

A potem wrzucamy kule kolorowe w pierwszym przypadku do pustych urn potem do pustych i do jednej w której są czarne kule i to na dwa sposoby a potem suriekcje na wszystkie urny idą.

\(\displaystyle{ {4 \choose 2} \cdot {7-1 \choose 2-1} \cdot S(5,2)+ {4 \choose 2} \cdot {7-1 \choose 2-1} 2 \cdot S(5,3)+ {4 \choose 2} \cdot {7-1 \choose 2-1} \cdot S(5,4)}\)

Trzeci przypadek wrzucamy czarne kule do trzech urn na sposobów:

i mamy suriekcje na jedną, dwie, trzy i cztery urny kul kolorowych

Wybieramy np. w trzeciej sumie dwie urny w których są czarne kule i urnę pustą i w te urny dajemy kule kolorowe, a ponieważ kule czarna są w trzech urnach więc dwie urny do , których ładujemy kule kolorowe wybieramy na: \(\displaystyle{ {3 \choose 2}}\) sposobów, itd...

\(\displaystyle{ {4 \choose 3} \cdot {7-1 \choose 3-1} \cdot S(5,1)+ {4 \choose 3} \cdot {7-1 \choose 3-1} \cdot 3 \cdot S(5,2)+ {4 \choose 3} \cdot {7-1 \choose 3-1} \cdot {3 \choose 2} \cdot S(5,3) + {4 \choose 3} \cdot {7-1 \choose 3-1} \cdot S(5,4)}\)

Czwarty przypadek wsadzamy czarne kule do wszystkich urn a kolorowe kule wsadzamy za pomocą wariacji z powtórzeniami do wszystkich urn:

\(\displaystyle{ {7-1 \choose 4-1} \cdot 4^5}\)

a teraz sumujemy przypadki i teraz na pewno sytuacje się nie powtórzą bo czarne wsadzam osobno a kolorowe upycham suriekcjami...

Generalnie taką zasadę tu mam:

Najpierw umieszczam czarne kule: w jednej, dwóch, trzech i czterech urnach (Liczę sposoby kombinacje z powtórzeniem bez pustych miejsc).

A potem kule kolorowe wrzucam suriektywnie w puste urny, oraz w te urny w których już leżą czarne kule (jednej, drugiej, trzeciej,...). Ostatni przypadek gdzie wszystkie urny są zajęte przez czarne używam wariacji z powtórzeniami dla kul kolorowych bo tu już mogę sobie na to pozwolić.

Cała trudność tego zadania polegała na tym, że mieliśmy połączone kule rozróżnialne, nierozróżnialne a do tego były suriekcje czyli "na"...

Dzięki za wskazanie błędu widać, że ktoś myśli...

[norwimaj]

Nie mam pojęcia jak poprawnie rozwiązać to zadanie, domyślam się, że trzeba skorzystać z zasady włączeń i wyłączeń,

Chyba tak będzie najprościej, więc do dzieła. Ile jest wszystkich możliwości rozmieszczenia kul? Ile jest takich rozmieszczeń, że pierwsza urna jest pusta? Itd.