liczby Stirlinga I rodzaju. tożsamość II

[onmyway]

Bardzo proszę o pomoc w udowodnieniu poniższej tożsamości

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \ k \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} n+1\\2\end{bmatrix}}\)

Będę wdzięczna za wszelkie wskazówki!

[bartex42]

Dowód indukcyjny, bazę pominę. Załóżmy, że wzór zachodzi dla liczb mniejszych niż n.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^nk\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=(n-1)\sum_{k=1}^nk\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}+\sum_{k=1}^nk\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}=(*)}\)
W pierwszej równości skorzystaliśmy z definicji. Teraz w pierwszej sumie możemy pominąć wyraz dla \(\displaystyle{ k=n}\), gdyż jest on równy 0, a drugą przeindeksujemy.
\(\displaystyle{ (*)=(n-1)\sum_{k=1}^{n-1}k\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}+\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}=(*)}\)
Teraz w pierwszej sumie skorzystamy z założenia indukcyjnego, a drugą rozbijemy na dwie.
\(\displaystyle{ (*)=(n-1)\begin{bmatrix}n\\2\end{bmatrix}+\sum_{k=0}^{n-1}k\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}+\sum_{k=0}^{n-1}\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}=(*)}\)
W pierwszej sumie znów można zastosować założenie indukcyjne, a w drugiej skorzystamy z innej tożsamości dotyczącej liczb Stirlinga (której też pewnie dowodzi się indukcyjnie).
\(\displaystyle{ (*)=(n-1)\begin{bmatrix}n\\2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n\\2\end{bmatrix}+(n-1)!=(*)}\)
I znów skorzystamy z innej tożsamości, a następnie z definicji.
\(\displaystyle{ (*)=n\begin{bmatrix}n\\2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n+1\\2\end{bmatrix}}\),
co kończy dowód.

[onmyway]

Bardzo dziękuję! Wszystko jasno rozpisane i zrozumiałe, dzięki!