Liczba sposobów, ile słów

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
JKKGBE
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 30 mar 2016, o 20:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Liczba sposobów, ile słów

Post autor: JKKGBE »

Cześć, prosiłbym o sprawdzenie rozwiązań i ew. poprawę.

Zadanie 1:
W cukierni sprzedają 5 rodzajów drożdżówek: z makiem, z kruszonką, z jabłkiem, z budyniem i z serem.
Zakładamy, że drożdżówek każdego rodzaju jest nieograniczona liczba i drożdżówki jednego rodzaju są nierozróżnialne.
Na ile sposobów można wybrać 20 drożdżówek, jeśli
a) chcemy co najmniej jedną drożdżówkę w każdym z rodzajów?
b) chcemy dokładnie jedną drożdżówkę z serem?
c) chcemy co najwyżej 2 drożdżówki z kruszonką?

Moje rozwiązania:
a) \(\displaystyle{ {15+5-1 \choose 15}}\)
b) \(\displaystyle{ {19 \choose 4}}\)
c) \(\displaystyle{ {20 \choose 4} + {19 \choose 4} + {18 \choose 4}}\), bo są trzy przypadki, gdy są \(\displaystyle{ 0, 1, 2}\) z krzuszonką

Zadanie 2:
Ile można utworzyć różnych słów (niekoniecznie mających sens) z wszystkich liter słowa MISSISIPI
a) w ogóle?
b) w których litery M i P stoją obok siebie?
c) w których wszystkie trzy litery S stoją kolejno obok siebie?

Moje rozwiązania:
a) \(\displaystyle{ 9!}\)
b) \(\displaystyle{ 1 \cdot 1\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 8=7!\cdot 16}\), bo mamy MP jak i PM i przesuwają się w prawo aż do końca
c) \(\displaystyle{ 1\cdot 1\cdot 1\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 7=7!}\), bo SSS przesuwa się j/w

Zadanie 3:
Alfabet łaciński zawiera 21 spółgłosek i 5 samogłosek. Ile ciągów składających się ze 100 wielkich liter
alfabetu łacińskiego zawiera:
a) dokładnie 3 samogłoski?
b) co najwyżej 3 samogłoski?
c) tę samą liczbę spółgłosek co samogłosek?

Moje rozwiązania:
a) \(\displaystyle{ {100 \choose 3}\cdot 5^{3}\cdot 21^{97}}\), wybieramy 3 miejsca ze 100, na każde miejsce 5 samogłosek i resztę zapełniamy spółgłoskami, b) i c) zrobiłem analogicznie
b) \(\displaystyle{ 21^{100}+{100 \choose 1}\cdot 5\cdot 21^{99}+{100 \choose 2}\cdot 5^{2}\cdot 21^{98}+{100 \choose 3}\cdot 5^{3}\cdot 21^{97}}\)
c) \(\displaystyle{ {100 \choose 50}\cdot 5^{50}\cdot 21^{50}}\)

Kombinatoryka jest dla mnie dość kłopotliwa, mam nadzieję że chociaż coś zrobiłem dobrze. Rady i uwagi mile widziane.
Ostatnio zmieniony 30 mar 2016, o 21:35 przez Kacperdev, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Liczba sposobów, ile słów

Post autor: kropka+ »

zad 1: a- dobrze; b i c -źle (tu też mają być kombinacje z powtórzeniami)
ODPOWIEDZ