Znajdź funkcję tworzącą

[bongo+]

Znajdź funkcję tworzącą ciągu:
a. \(\displaystyle{ a_{n}=7 \cdot 5^{n+1} , n=0,1,...}\)
b. \(\displaystyle{ a_{n}=3n-3, n=0,1,...}\)

[Waylays]

Definiujemy funkcję tworzącą dla pierwszego ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) i liczymy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n=\sum_{n=0}^{ \infty }7\cdot 5^{n+1}x^n=7\cdot \sum_{n=0}^{ \infty }5^{n+1}x^n=7\cdot \left( 5+\sum_{n=1}^{ \infty } 5^{n+1}x^{n}\right)=}\)\(\displaystyle{ =7\cdot \left( 5+\sum_{n=0}^{ \infty } 5^{n+2}x^{n+1}\right)=7\cdot \left( 5+\sum_{n=0}^{ \infty } 5x \cdot 5^{n+1}x^{n}\right) =7\cdot \left( 5+ 5x\cdot \sum_{n=0}^{ \infty } 5^{n+1}x^{n}\right)}\)
Jeżeli oznaczymy sumę \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }5^{n+1} x^n=f(x)}\), to wtedy:
\(\displaystyle{ 7\cdot f(x)=7\cdot \left( 5+5x\cdot f(x)\right)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=5+5x\cdot f(x)}\)
O ile się nie pomyliłem to teraz wystarczy rozwiązać proste równanie ze względu na \(\displaystyle{ f(x)}\), oczywiście przy jakichś tam założeniach, tutaj \(\displaystyle{ |x|< \frac{1}{5} \wedge x \neq \frac{1}{5}}\). Spróbuj drugie zrobić sam, jak nie będzie wychodzić to coś się poradzi.

~edit
Przy tych oznaczeniach szukana funkcja tworząca \(\displaystyle{ G(x)=7\cdot f(x)}\). Można było też od razu wyłączyć \(\displaystyle{ 35}\) zamiast \(\displaystyle{ 7}\) przed nawias, albo nie wyłączać nic dla świętego spokoju.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ a_{n}=3n-3, n=0,1,...\\
a_{n}=3\left( n+1\right)-6\\
A\left( x\right)=\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{3\left( n+1\right) x^n} \right) - \sum_{n=0}^{ \infty }{6x^n}\\
A\left( x\right)= \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( \sum_{n=0}^{ \infty }{3x^n} \right) - \sum_{n=0}^{ \infty }{6x^n}\\
A\left( x\right)=\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( \frac{3}{1-x}\right)-\frac{6}{1-x}\\
A\left( x\right)=\frac{3}{\left( 1-x\right)^2 }-\frac{6}{1-x}\\
A\left( x\right)=\frac{6\left( x-1\right)+3 }{\left( 1-x\right)^2 }\\
A\left( x\right)=\frac{6x-3}{\left( 1-x\right)^2}}\)

[bongo+]

czy z tego \(\displaystyle{ \left( \sum_{n=0}^{ \infty }{3\left( n+1\right) x^n} \right)}\)
nie powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{3x}{\left( 1-x\right)^2 }}\)
nie zgubił się x

[Mariusz M]

bongo+, nie

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n}=\frac{1}{1-x}\\
\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\sum_{n=0}^{ \infty }x^{n} \right) = \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( \frac{1}{1-x} \right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{nx^{n-1}} =-\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 } \cdot \left( -1\right) \\
\sum_{n=1}^{ \infty }{nx^{n-1}} =\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right) x^{n}} =\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }\\}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n}=\frac{1}{1-x}\\
\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\sum_{n=0}^{ \infty }x^{n} \right) = \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( \frac{1}{1-x} \right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{nx^{n-1}} =-\frac{1}{\left( 1-x\right)^2 } \cdot \left( -1\right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{nx^{n}} =\frac{x}{\left( 1-x\right)^2}}\)

Gdy będziesz dalej różniczkował to powinno ci wyjść

\(\displaystyle{ \frac{k!}{\left( 1-ax\right)^{k+1} }= \sum_{n=0}^{ \infty }{ \prod_{i=1}^{k}\left( n+i\right) a^nx^n}}\)

[bongo+]

Już rozumiem.
Dzięki