Kombinatoryka (ilość liczb)

[olczix]

Ile jest parzystych liczb siedmiocyfrowych w którym zapisie dziesiętnym występuję dokładnie jedno zero i dokładnie jedna jedynka?

[Premislav]

Skoro mają być parzyste, to potrzeba i wystarcza, by ostatnia cyfra była parzysta. Można rozważyć dwa przypadki:
1. zero jest ostatnią cyfrą. Wtedy mamy \(\displaystyle{ 6\cdot 8^{5}}\) możliwości (wybieramy jedno miejsce, na którym będzie jedynka, zero jest na ostatnią cyfrą, a każda z pozostałych cyfr liczby jest jedną z ośmiu z \(\displaystyle{ \left\{ 2,...9\right\}}\)).
2. zero nie jest ostatnią cyfrą. Wtedy ostatnią cyfrę wybieramy na \(\displaystyle{ 3}\) sposoby, zero wrzucamy na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów, bo nie może być na początku i przyjmujemy w tym przypadku, że nie jest na końcu, jedynkę na \(\displaystyle{ 5}\) sposobów i pozostałe dowolnie z \(\displaystyle{ \left\{ 2,...9\right\}}\), co
daje \(\displaystyle{ 3\cdot 5^{2}\cdot 8^{4}}\)
Odpowiedź to \(\displaystyle{ 6\cdot 8^{5}+3\cdot 5^{2}\cdot 8^{4}}\)

[Jozekban]

Wtedy ostatnią cyfrę wybieramy na \(\displaystyle{ 3}\) sposoby

Z tego zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 2,4,6,8\right\}}\) coś jeszcze znikło oprócz zera?

Tak sobie licze i mi wychodzi \(\displaystyle{ 6 \cdot 8^5 + 8^4 \cdot 5^2 \cdot 4}\)

[Premislav]

Dzięki za zwrócenie uwagi, powinno oczywiście być \(\displaystyle{ 4}\) zamiast \(\displaystyle{ 3}\).