Oblicz przy założeniu że liczymy od k=1

[bongo+]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{200} {200 \choose k} \cdot k \cdot (-3)^k}\)

zauważ, że liczymy od k=1, a nie od k=0

[a4karo]

zauważ, że liczymy od k=1, a nie od k=0

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{200} {200 \choose k} \cdot k \cdot (-3)^k=\sum_{k=0}^{200} {200 \choose k} \cdot k \cdot (-3)^k}\)

Pomyśl dlaczego

[Vax]

Zauważ, że:

\(\displaystyle{ (1-e^x)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^k e^{kx}}\)

Różniczkując po x dostajemy:

\(\displaystyle{ -n(1-e^x)^{n-1}\cdot e^x = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(-1)^k\cdot k\cdot e^{kx}}\)

Wstawiając \(\displaystyle{ n = 200}\) oraz \(\displaystyle{ k = \ln3}\) dostajemy:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{200} {200 \choose k} k\cdot (-3)^k = 200\cdot 2^{199} \cdot 3}\)

[Jan Kraszewski]

Wstawiając \(\displaystyle{ n = 200}\) oraz \(\displaystyle{ k = \ln3}\) dostajemy:

Chyba \(\displaystyle{ x = \ln3}\).

JK