Znaleźć funkcję tworzącą

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
kc358
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 9 lis 2014, o 22:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Znaleźć funkcję tworzącą

Post autor: kc358 »

Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\):
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}a _{n} = \frac{1}{2}a_{n+1}-a_{n+2}}\) dla \(\displaystyle{ n > 1}\), \(\displaystyle{ a_{0}=0, a_{1}= \frac{ \sqrt{3} }2{}}\)
Robię to w następujący sposób i chciałbym prosić o sprawdzenie rozumowania i ewentualne poprawienie błędów:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n=0}^{ \infty } F _{n} z ^{n}}\) = \(\displaystyle{ F _{0}+ F _{1} z + \frac{1}{4} \sum_{n=2}^{ \infty } ( \frac{1}{2}F _{n+1}-F _{n+2})z ^{n}}\) =
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}z + \frac{1}{8} \sum_{n=2}^{ \infty }F _{n+1}z ^{n} - \frac{1}{4} \sum_{n=2}^{ \infty } F _{n+2}z ^{n}}\)=
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}z+ \frac{1}{8} \sum_{n=3}^{ \infty }F _{n}z ^{n-1}- \frac{1}{4} \sum_{n=4}^{ \infty }F _{n}z ^{n-2}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}z + \frac{1}{8z} \sum_{n=3}^{ \infty }F _{n}z ^{n} - \frac{1}{4z ^{2} } \sum_{n=4}^{ \infty }F _{n}z ^{n}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}z + \frac{1}{8z}(F(z)-3) - \frac{1}{4z ^{2} }(F(z)-4)=}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}z + \frac{1}{8z}F(z)- \frac{3}{8z}- \frac{1}{4z ^{2} }F(z)+ \frac{1}{z ^{2} }=}\)
No i dalej nie mam pojęcia co robić by otrzymać postać zwartą i czy to w ogóle jest dobrze.

Przyda mi się zrozumienie tego bardzo przed jutrzejszym dniem
Ostatnio zmieniony 6 mar 2016, o 19:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Literówki w temacie.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Znaleźć funkcję tworzącą

Post autor: arek1357 »

To sobie wylicz z tego\(\displaystyle{ F(x)}\) lub jak tam wolisz\(\displaystyle{ F(z)}\)
kc358
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 9 lis 2014, o 22:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy

Znaleźć funkcję tworzącą

Post autor: kc358 »

Tylko w tym tkwi problem, że nie potrafię tego za bardzo rozpisać...
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Znaleźć funkcję tworzącą

Post autor: arek1357 »

Ale już masz rozpisane
ODPOWIEDZ