policzenie par znajomości/prostych skośnych

wielkireturner · Post autor: **wielkireturner** » 28 lut 2016, o 07:41

Każdy zna \(\displaystyle{ 4}\) inne osoby. Osób jest \(\displaystyle{ 12}\). Ile jest znajomości?
Alternatywne sformułowanie zadania: Mamy sześcian. Ile jest par prostych skośnych?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 28 lut 2016, o 09:34

Wystarczy sobie narysować macierz 12x12. Każda znajomość to jedynka, brak znajomości to zero.
Na głównej przekątnej same zera.
Macierz jest symetryczna, bo jeśli A zna B to B zna A ( tak raczej).
A znajomość można zdefiniować jako para jedynek symetrycznych względem głównej przekątnej.
Czyli powinno być znajomości 24.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 28 lut 2016, o 10:20

12 osób zna 4 osoby, ale każda znajomość jest tu liczona dwukrotnie.
\(\displaystyle{ 12 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}=24}\)

Każda krawędź dolnej podstawy sześcianu jest skośna do 4 krawędzi (2 bocznych i 2 z górnej podstawy), dodatkowo każda krawędź górnej podstawy sześcianu jest skośna do 2 krawędzi bocznych.
\(\displaystyle{ 4 \cdot 4 +4 \cdot 2=24}\)