Punkty przecięcia prostych

[michals95]

Niech \(\displaystyle{ n, n_{1}, ... n_{k} \in N}\) takie, że \(\displaystyle{ \sum_{i = 1}^{k} n_{i} = n}\). na płaszczyźnie narysowanych jest \(\displaystyle{ n}\) prostych, które można podzielić na \(\displaystyle{ k}\) grup w ten sposób, że każde dwie proste z tej samej grupy są równoległe, a każde dwie proste z różnych grup nie są równoległe. W \(\displaystyle{ i}\)-tej grupie jest \(\displaystyle{ n_{i}}\) prostych. Dodatkowo żadne trzy punkty nie przecinają się w jednym punkcie. Wykazać, że liczba punktów przecięć narysowanych prostych wynosi \(\displaystyle{ \frac{ n^{2} - \sum_{i=1}^{k} n_{i}^{2} }{2}}\).
Nie mam pojęcia jak rozwiązać to zadanie.

Edit: Już wymyśliłem rozwiązanie, być może komuś się przyda, więc napiszę. Po pierwsze wszystkich możliwych punktów przecięcia jest \(\displaystyle{ n^{2}}\). Jednak od tych przypadków należy odjąć punkty przecięcia wszystkich prostych równoległych z sobą (a właściwie ich brak), co stanowi \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} n_{i}^{2} }}\). Ponadto zauważmy, że dwukrotnie policzyliśmy punkty przecięcia tych samych prostych (analogicznie do ilości przekątnych w wielokącie foremnym).

[a4karo]

No to weźmy \(\displaystyle{ n_1=n_2=1}\). Mamy \(\displaystyle{ n=2}\) proste nierównoległe. Twierdzisz, że przecinają się one w czterech punktach?

[kerajs]

Może tak:
Ilość punktów przecięć grup o liczności \(\displaystyle{ n_{x}}\) i \(\displaystyle{ n_{y}}\) to \(\displaystyle{ n_{x}n_{y}}\) stąd ilość wszystkich przecięć (I) to :
\(\displaystyle{ I= \left[ x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+...+x_1x_{k}\right] +\left[ x_2x_3+x_2x_4+ ... +x_2x_{k}\right]+.....+\left[ x_{k-1}x_{k}\right] =\\=
\frac{1}{2} \left\{ \left[ 2x_1x_2+2x_1x_3+2x_1x_4+...+2x_1x_{k}\right] +\left[ 2x_2x_3+2x_2x_4+...+2x_2x_{k}\right]+..... +\left[ 2x_{k-1}x_{k}\right]
\right\}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} \left\{ (x_1+x_2+x_3+...+x_{k})^2-(x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_{k}^2)\right\}= \frac{1}{2} \left( n^2- \sum_{i=1}^{k} x_{i}^2\right)}\)

Edit:
\(\displaystyle{ n^2=(x_1+x_2+x_3+...+x_{k})^2=x_1^2+2x_1(x_2+x_3+...+x_{k})+(x_2+x_3+...+x_{k})^2=\\
=x_1^2+2x_1(x_2+x_3+...+x_{k})+x_2^2+2x_2(x_3+...+x_{k})+(x_3+...+x_{k})^2=....}\)

[michals95]

a4karo, zadanie polega na tym, że w każdej kolejnej grupie prostych jest o jedna więcej, więc sytuacja przez Ciebie opisana nie wystąpi. Dla i = 2, będą 3 proste, z tego dwie równoległe, a punkty przecięć będą dwa

[a4karo]

A kto powiedział (w zadaniu), że te grupy mają różna liczebność?

Ale ok: \(\displaystyle{ n_1=1, n_2=2}\) dwie proste równoległe + trzecia nierównoległ.

Trzy proste na płaszczyznie maja góra \(\displaystyle{ 3}\) punkty przecięcia (więc nie 9, jak sądzisz.)

Wskazuję Ci, żę dowód, który podałeś nie jest poprawny.

[michals95]

W zadaniu rozważamy proste takie, że w \(\displaystyle{ i}\)-tej grupie jest \(\displaystyle{ n_{i}^{2}}\) prostych, w domyśle równoległych, czyli kolejno jedną prostą, dwie proste wzajemnie równolegle nie równoległe do pierwszej, itd. W związku z tym nie będzie przypadku, kiedy proste przetną się w trzech punktach, tylko kolejno dla będą to 2 punkty dla \(\displaystyle{ i=2}\), 11 punktów dla \(\displaystyle{ i=3}\) itd. co wynika ze wzoru. Mój dowód zakłada, że idziemy od ogólnego przypadku, tak jak podałeś, dowolnych prostych, do przypadku z zadania.