Sumy - przyklady

[Dysiu]

Witam, siedze już od 2 dni i nic nie wymyśliłem... jestem w tym zielony mógłby ktoś wytlumaczyć jak liczyć tego typu sumy...?

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{4} \sum_{i=0}^{8}(3i-2k)}\)

[bakala12]

1. To suma ciągu arytmetycznego. Jego suma jest powszechnie znana. Jaki jest wzór na sumę \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego?
2. Suma sumy - liczymy to sobie po kolei:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{8}\left(3i-2k\right)}\)
Zauważ, że kawałek \(\displaystyle{ -2k}\) powtarza się w każdym z dziewięciu składników i nie zależy od indeksu wewnętrznej sumy. Zatem możemy napisać:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{8}\left(3i-2k\right) = \sum_{i=0}^{8} 3i - \sum_{i=0}^{n} 2k= 3\sum_{i=0}^{8} - 2k \cdot 9}\).
Drugą sumę (tą zewnętrzną liczymy analogicznie). W razie problemów pisz

[Dysiu]

dziękuje za odpowiedź
1. czyli \(\displaystyle{ \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n}\)?
2.rozumiem że pod k podstawiamy zawsze \(\displaystyle{ 1}\) czy przy każdym "obrocie" zwiększamy o \(\displaystyle{ 1}\)?

co do pierwszego na tak ale mam sporo takich przykładów i sam z siebie nie widzę że coś jest po prostu wzorem a nikt tego nam nie wyjaśnił i nic nie przedstawiał chyba sami mamy wpaść... jeżeli tak to chyba semestr letni zakończy moje studia ; (

dla przykładu

\(\displaystyle{ \sum_{i=n+1}^{2n}i}\)

[Jan Kraszewski]

1. czyli \(\displaystyle{ \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n}\)?

Przecież w przykładzie masz konkretny ciąg arytmetyczny (najprostszy możliwy...).

JK

[bakala12]

dziękuje za odpowiedź
1. czyli \(\displaystyle{ \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n}\)?
2.rozumiem że pod k podstawiamy zawsze \(\displaystyle{ 1}\) czy przy każdym "obrocie" zwiększamy o \(\displaystyle{ 1}\)?

1. Trzeba użyć wzoru. U Ciebie \(\displaystyle{ a_{1}=1}\) i \(\displaystyle{ a_{n}=n}\) (spójrz na granice sumowania aby dowiedzieć się dlaczego). Teraz wystarczy podstawić i suma jest obliczona.

2. Przy liczeniu pierwszej sumy nie ruszaj \(\displaystyle{ k}\). Tzn. działaj tak jakby \(\displaystyle{ k}\) było znaną literką (stałą). Sumując wyeliminujesz sobie zmienną \(\displaystyle{ i}\). Potem masz sumę ze zmienną \(\displaystyle{ k}\) i liczysz ją niemal identycznie