Wariacje, podstawy

Milczek · Post autor: **Milczek** » 22 lut 2016, o 13:50

Ile jest liczb liczb ośmiocyfrowych takich że :
1.Dwa razy występuje cyfra \(\displaystyle{ 5}\).
2.Nie występuje w tych liczbach cyfra \(\displaystyle{ 0}\).

Proponuję takie rozwiązanie :
Przykład naszej liczby to : _ _ _ _ \(\displaystyle{ 5}\) _ _ \(\displaystyle{ 5}\). Czyli dwa pola są na pewno zarezerwowane na dwie cyfry \(\displaystyle{ 5}\).

Szukamy wszystkich wariacji \(\displaystyle{ 2}\)-elementowych zbioru \(\displaystyle{ 8}\)-elementowego. W ten sposób uzyskam wszystkie możliwe ustawienia cyrf \(\displaystyle{ 5}\) na ośmiu możliwych polach naszej liczby.

Jest ich \(\displaystyle{ \frac{8!}{(8-5)!}}\)

Teraz liczę wszystkie wariację liczb z powtórzeniami liczb które mogą być na sześciu wolnych polach czyli jest ich \(\displaystyle{ 8^6}\)(pierwsza liczba na osiem sposobów, druga też.... i tak wszystkie 8 liczb które mogę wstawić na jedno z sześciu wolnych pól).

Zatem wszystkich takich liczb jest \(\displaystyle{ \frac{8!}{(8-5)!} \cdot 8^6}\).

Proszę teraz o wyjaśnienie czemu to rozwiązanie działa i czemu na końcu mnożymy nasze dwa wyniki ?
Nie rozumiem tego do końca.

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 25 lut 2016, o 23:55

To mnożenie na końcu wynika po prostu z zasady mnożenia.

Milczek · Post autor: **Milczek** » 26 lut 2016, o 00:26

Hmm, nie jestem do końca pewien o co chodzi z zasadą mnożenia...mogłabyś ciut więcej napisać?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 26 lut 2016, o 00:48

Tak.

Jeżeli wybór polega na \(\displaystyle{ k}\) decyzji, przy czym pierwszą można wybrać na \(\displaystyle{ s_{1}}\) sposobów, drugą na \(\displaystyle{ s_{2}}\) sposobów i każdą kolejną na wybraną liczbę \(\displaystyle{ s_{i}}\) sposobów aż do \(\displaystyle{ s_{k}}\), to wszystkich możliwości wyboru jest \(\displaystyle{ s_{1} \cdot s_{2} \cdot ... \cdot s_{k}}\).

kerajs · Post autor: **kerajs** » 26 lut 2016, o 10:43

Milczek pisze:Szukamy wszystkich wariacji \(\displaystyle{ 2}\)-elementowych zbioru \(\displaystyle{ 8}\)-elementowego. W ten sposób uzyskam wszystkie możliwe ustawienia cyrf \(\displaystyle{ 5}\) na ośmiu możliwych polach naszej liczby.
Jest ich \(\displaystyle{ \frac{8!}{(8-5)!}}\).

Chciałbym doprecyzować:
,,wariacji \(\displaystyle{ 2}\)-elementowych zbioru \(\displaystyle{ 8}\)-elementowego' jest
\(\displaystyle{ V ^{2}_8= \frac{8!}{(8-2)!} =56}\)
a ,,możliwe ustawienia cyrf \(\displaystyle{ 5}\) na ośmiu możliwych polach naszej liczby' to
\(\displaystyle{ \frac{V ^{2}_8}{2!}= C ^{2}_8=28}\)

Milczek · Post autor: **Milczek** » 26 lut 2016, o 12:02

kerajs pisze:
Milczek pisze:Szukamy wszystkich wariacji \(\displaystyle{ 2}\)-elementowych zbioru \(\displaystyle{ 8}\)-elementowego. W ten sposób uzyskam wszystkie możliwe ustawienia cyrf \(\displaystyle{ 5}\) na ośmiu możliwych polach naszej liczby.
Jest ich \(\displaystyle{ \frac{8!}{(8-5)!}}\).
Chciałbym doprecyzować:
,,wariacji \(\displaystyle{ 2}\)-elementowych zbioru \(\displaystyle{ 8}\)-elementowego' jest
\(\displaystyle{ V ^{2}_8= \frac{8!}{(8-2)!} =56}\)

Gdy interesuje nas ilość liczb to liczymy wariacje, ważna jest u nas kolejność ustawionych liczb. A sformułowałem to mało precyzyjnie.
Poszukujaca, dzięki wielkie,
A regułę dodawania stosujemy gdy mamy decyzję które są od siebie niezalezne?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 26 lut 2016, o 17:11

Regułę albo inaczej zasadę dodawania stosujemy, gdy mamy podjąć jedną z \(\displaystyle{ k}\) decyzji.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 27 lut 2016, o 21:38

Milczek pisze:Gdy interesuje nas ilość liczb to liczymy wariacje, ważna jest u nas kolejność ustawionych liczb. A sformułowałem to mało precyzyjnie.

Wpisanie do wariacji liczby 5, zamiast 2 było, jak przypuszczam, literówką.
Ale mylisz się co do ilości rozwiązań. Dwóch cyfr ,,5' nie rozróżniasz, więc albo swoją wariację dzielisz przez ilość permutacji między tymi piątkami albo stosujesz wzór na kombinacje.