Policz Sumę

[TrzyRazyCztery]

Zastanawiam się czy jest to dobry dział, jeśli źle myślę proszę o przeniesienie.


Policz sumę (chodzi o zamiane na wzór zwarty?)

\(\displaystyle{ \sum_{k}^{} k^{2} {n \choose k} 3^{2k}}\)

Czy jest jakiś sposób na robienie tego typu zadań? czym się kierować w rozwiązywaniu czegoś takiego?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2} {n \choose k} 3^{2k}= \sum_{k=1}^{n}k{n \choose k}9^{k}+ \sum_{k=2}^{n}k(k-1){n \choose k}9^{k}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}=(1+x)^{n}}\), więc \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}{n \choose k}kx^{k-1}= \frac{d}{dx}(1+x)^{n}=n(1+x)^{n-1}}\) oraz
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}{n \choose k}k(k-1)x^{k-2}= \frac{d^{2}}{dx^{2}}(1+x)^{n}=n(n-1)(1+x)^{n-2}}\), a zatem \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k{n \choose k}x^{k}=nx(1+x)^{n-1}}\) i \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k(k-1){n \choose k}x^{k}=n(n-1)x^{2}(1+x)^{n-2}}\), a stąd
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{2}{n \choose k}9^{k}=9n\cdot 10^{n-2}(9n+1)}\)
Można to też rozwiązać kombinatorycznie, ale nie przepadam za kombinatoryką, toteż nie będę nad tym myśleć.-- 14 lut 2016, o 01:27 --Generalnie to korzystam z tego, że pochodna sumy jest sumą pochodnych.

[TrzyRazyCztery]

Dziękuje serdecznie za odpowiedz, jednak nie jest to raczej mój poziom, juz pierwsze rozbicie na 2 sumy nie wiem skad sie bierze a do tego pochodne sum... Chyba muszę poczekać na jakies prostsze rozwiązania.

[Qń]

Pierwsze rozbicie to po prostu równość \(\displaystyle{ k^2= k+ k(k-1)}\). A dalej można bez pochodnych, a tylko korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}}\).

Q.

[TrzyRazyCztery]

hmm, ok to może spróbuje ale jestem pełen wątpliwości:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2} {n \choose k} 3^{2k}= \sum_{k=1}^{n}k{n \choose k}9^{k}+ \sum_{k=1}^{n}k(k-1){n \choose k}9^{k} =\\
\sum_{k=1}^{n}n{n-1 \choose k-1}9^{k}+ \sum_{k=2}^{n}(k-1)n{n-1 \choose k-1}9^{k} = \\
n\sum_{k=1}^{n}{n-1 \choose k-1}9^{k}+ n\sum_{k=2}^{n}(k-1){n-1 \choose k-1}9^{k} = \\
n\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}9^{k+1}+ n\sum_{k=2}^{n}(n-1){n-2 \choose k-2}9^{k} = \\
9n\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}9^{k}+ n(n-1)\sum_{k=2}^{n}{n-2 \choose k-2}9^{k} = \\
9n(1+9)^{n-1}+ n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2}{n-2 \choose k}9^{k+2} = \\
9n \cdot 10^{n-1}+ 9^{2}n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2}{n-2 \choose k}9^{k} = \\
9n \cdot 10^{n-1}+ 9^{2}n(n-1)(1+9)^{n-2}}\)

Czy jest to w jakis sposób dobra droga? ew w którym miejscu robie cos nieprawidłowego?

[Premislav]

Jest OK+to bardziej elegancki sposób. Zresztą wynik wychodzi taki sam, jak mój.
Czego dotyczą Twoje wątpliwości?-- 14 lut 2016, o 14:10 --Tylko cyfrówka/literówka w trzeciej linijce od dołu (napisałeś \(\displaystyle{ n}\) zamiast \(\displaystyle{ n-1}\)), ale dalej z niej nie korzystasz, więc pewnie to efekt roztargnienia.

[TrzyRazyCztery]

Skoro jest ok to niczego, po prostu okazalo sie to w sumie łatwiejsze niż sie spodziewałem wiec zacząłem sie zastanawiam czy nie robie gdzies błedu.

Faktycznie, już poprawiam. I dziekuje jeszcze raz