Czy jest jakiś ładny wzór który powie mi na ile sposobów moge podzielić odcinek długości n na odcinki o długości 2 i 3?
Ogólnie zadanie brzmi tak żeby policzyc na ile sposobów da sie złożyć odcinek długosci n z białych i czarnych odcinków długości 2 oraz czerwonych,zielonych i niebieskich odcinków długości 3. Należy podać wzór zwarty. np odCinek długości 8 moge złożyć\(\displaystyle{ \left\{ \left\{2,2,2,2 \right\}\left\{ 3,3,2\right\}\left\{3,2,3 \right\} \left\{2,3,3 \right\} \right\}}\) wiec wynikiem bedzie \(\displaystyle{ \left( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\right) +\left( 3 \cdot 3 \cdot 2 \right) +\left( 3 \cdot 2 \cdot 3\right) + \left( 2 \cdot 3 \cdot 3\right) = 16+18+18+18 = 70}\)
Dzielenie prostej na odcinki o zadanych długościach
-
TrzyRazyCztery
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 24 maja 2014, o 17:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wro
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 1 raz
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Dzielenie prostej na odcinki o zadanych długościach
Rozwiązaniem bez kolorów będzie:
\(\displaystyle{ 2x+3y=n}\)
\(\displaystyle{ x}\)- ilość odcinków o długości dwa
\(\displaystyle{ y}\)- ilość odcinków o długości trzy
I tu rozwiązań wiele nie będzie,
Bo rozwiązania w całkowitych są:
(*) \(\displaystyle{ x=x_{0}+3t}\)
(*) \(\displaystyle{ y=y_{0}-2t}\)
jasne jest, że lewa strona musi być większa lub równa zero w (*)
Co uszczupli ilość rozwiązań...
Dokładając do tego, że w każdym z tych przypadków dochodzą kolory mamy też:
\(\displaystyle{ y_{1}+y_{2}+y_{3}=y}\) , \(\displaystyle{ y_{i} \in}\) czerwonych,zielonych i niebieskich
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=x}\) , \(\displaystyle{ x_{i} \in}\) białych i czarnych
Czyli dla każdego (*) masz dodatkowo:
\(\displaystyle{ {3+y-1 \choose y} \cdot {2+x-1 \choose x}}\) - możliwości
\(\displaystyle{ 2x+3y=n}\)
\(\displaystyle{ x}\)- ilość odcinków o długości dwa
\(\displaystyle{ y}\)- ilość odcinków o długości trzy
I tu rozwiązań wiele nie będzie,
Bo rozwiązania w całkowitych są:
(*) \(\displaystyle{ x=x_{0}+3t}\)
(*) \(\displaystyle{ y=y_{0}-2t}\)
jasne jest, że lewa strona musi być większa lub równa zero w (*)
Co uszczupli ilość rozwiązań...
Dokładając do tego, że w każdym z tych przypadków dochodzą kolory mamy też:
\(\displaystyle{ y_{1}+y_{2}+y_{3}=y}\) , \(\displaystyle{ y_{i} \in}\) czerwonych,zielonych i niebieskich
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=x}\) , \(\displaystyle{ x_{i} \in}\) białych i czarnych
Czyli dla każdego (*) masz dodatkowo:
\(\displaystyle{ {3+y-1 \choose y} \cdot {2+x-1 \choose x}}\) - możliwości
Ostatnio zmieniony 13 lut 2016, o 21:05 przez arek1357, łącznie zmieniany 1 raz.
-
TrzyRazyCztery
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 24 maja 2014, o 17:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wro
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 1 raz
Dzielenie prostej na odcinki o zadanych długościach
Czy mógłbyś, jesli masz chwile oczywiście, wytłumacyzc mi skąd biorą sie te równanie i \(\displaystyle{ x_{0}}\) albo \(\displaystyle{ t}\)?
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Dzielenie prostej na odcinki o zadanych długościach
na przykładzie:
\(\displaystyle{ 2x+3y=6}\) , \(\displaystyle{ n=6}\)
szukasz rozwiązania szczególnego, łatwo znaleźć np:
\(\displaystyle{ x_{0}=3, y_{0}=0}\)
rozwiązanie ogólne:
\(\displaystyle{ x=3+3t}\)
\(\displaystyle{ y=0-2t}\)
W twoim przypadku \(\displaystyle{ x i y}\) musi być większy lub równy zero.
\(\displaystyle{ t}\) to dowolna całkowita liczba
a bierze się to z teorii równań diofantycznych, które dobrze znać.
\(\displaystyle{ 2x+3y=6}\) , \(\displaystyle{ n=6}\)
szukasz rozwiązania szczególnego, łatwo znaleźć np:
\(\displaystyle{ x_{0}=3, y_{0}=0}\)
rozwiązanie ogólne:
\(\displaystyle{ x=3+3t}\)
\(\displaystyle{ y=0-2t}\)
W twoim przypadku \(\displaystyle{ x i y}\) musi być większy lub równy zero.
\(\displaystyle{ t}\) to dowolna całkowita liczba
a bierze się to z teorii równań diofantycznych, które dobrze znać.