Równanie rekurencyjne - stała

[Jarecki1207]

Witam. Mam pytanie jak obliczyć stałą f(n) z równania \(\displaystyle{ a _{n+2} - 6a _{n+1} + 12a _{n} - 8a _{n-1} = -1}\)?
Czy w tym wypadku mnożę to szukane P razy jakieś n, czy jest na to inny sposób?

[Premislav]

Nie wiem co to jest \(\displaystyle{ f(n)}\), a ponieważ nie chce mi się domyślać, to po prostu przedstawię rozwiązanie

Ukryta treść:    

Równanie charakterystyczne dla części liniowej wygląda tak: \(\displaystyle{ t^{3}-6t^{2}+12t-8=0}\). Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych łatwo znajdujemy pierwiastek \(\displaystyle{ t_{1}=2}\), po czym dzielimy ten wielomian przez \(\displaystyle{ t-2}\) i rozwalamy trójmian, sprowadzając to do \(\displaystyle{ (t-2)^{3}=0}\) - mozna też było od razu zauważyć, że ma on taką postać, ale ja nie zauważyłem. A zatem rozwiązanie ogólne części liniowej ma postać \(\displaystyle{ a_{n}=C_{1}2^{n}+C_{2}n2^{n}+C_{3}n^{2}2^{n}}\). Następnie przewidujemy rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego \(\displaystyle{ a _{n+2} - 6a _{n+1} + 12a _{n} - 8a _{n-1} = -1}\) postaci funkcji wielomianowej stopnia zero, czyli jakąś tam stałą \(\displaystyle{ c}\). Wychodzi \(\displaystyle{ c=1}\). Stąd rozwiązaniem ogólnym równania \(\displaystyle{ a _{n+2} - 6a _{n+1} + 12a _{n} - 8a _{n-1} = -1}\) jest \(\displaystyle{ a_{n}=C_{1}2^{n}+C_{2}n2^{n}+C_{3}n^{2}2^{n}+1}\)

[Jarecki1207]

Właśnie o tą stałą mi chodzi. Liczę ją ze wzoru na podstawienie za \(\displaystyle{ a _{n} y}\), ale nie w każdym zadaniu wychodzi. Bo np w równaniu \(\displaystyle{ a _{n+2} - 4a _{n+1} +5 a_{n} -2a _{n-1} = 1}\), po podstawieniu mam \(\displaystyle{ y - 4y + 5y - 2y = 1 \Rightarrow y(1-4+5-2) = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{0}}\), co jest oczywiście nie możliwe!!! Dlatego moje pytanie o inny sposób wyliczania stałej?

[Premislav]

Ja to podejście wziąłem stąd:
Nie znam się na równaniach rekurencyjnych (coś tam miałem na pierwszym roku), ew. można by jeszcze użyć metody funkcji tworzących, ale rachunki mogą być czasem żmudne.

W tym przykładzie wychodzi Ci sprzeczność, gdy podstawiasz stałą, gdyż \(\displaystyle{ 1}\) (czyli prawa strona) jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego. Zobacz punkt 4. ze strony, którą podałem.

[Jarecki1207]

Racja! Rozwiązałem to zadanie w taki sposób, w tym wypadku będzie \(\displaystyle{ An ^{2}}\), ale nie byłem pewien, dlaczego dokładnie tak i kiedy to stosować, ponieważ znalazłem taki wzór na jakimś angielskim wykładzie. Wielkie dzięki za podesłanie strony!!!